Frobenius: Über Matrizen aus positiven Elementen. 471 



Über Matrizen aus positiven Elementen. 



Von G. Frobenius. 



Oind die Elemente einer Matrix alle reell und positiv, so hat ihre 

 charakteristische Determinante und deren Unterdeterminanten einige 

 merkwürdige Eigenschaften, von denen Hr. Oskar Perron die wich- 

 tigsten entdeckt und in zAvei Abhandlungen Grundlagen für eine Theorie 

 der JACOBisrhen Kettenhruchahjorithmen und Zur Theorie der Matrices im 

 64. Bande der Mathematischen Annalen abgeleitet hat. Den Beweis hat 

 er, wie er selbst hervorhebt, nur mit Anwendung von Grenzbetrach- 

 tungen durchführen können. Es ist mir gelungen, diese zu vermeiden, 

 die Beweise zu vereinfachen und die Sätze in einigen Punkten zu ver- 

 vollständigen. 



§ I- 



Sind die Elemente einer Matrix A alle reell und positiv^ so hat ihre 

 charakteristische Gleichung eine Wurzel r^ die reell, positiv, einfach und ab- 

 solut grüßer ist als jede andere Wurzel. Ist s > r, so sind die Elemente 

 der :u sE-A adjunyierten Matrix alle positiv. 



Die Elemente a^^ der Matrix n'""" Clrades A seien alle positiv (> 0). 

 Die Determinante js^"-^! bezeichne ich mit <p(s) oder A(.<), die dem 

 Elemente se^;-a^, komplementäre Unterdeterminante (?z-l)'^° Grades 

 mit A,Ss). 



Ich nehme an, die Behauptung sei für eine Matrix, deren Grad 

 < n ist, bereits bewiesen. Sind dann a , /3 , 7, • • ■ v die Zahlen \ ,2 ,?i , ■ ■■ n 

 in irgendeiner Anordnung, und ist 



B{s) = A„„{s) 



- ö^ß + s • ■ • - ar.., 



— n,;, + c 



so hat die Gleichung B(s) = eine Wurzel q, die positiv, einfach und 

 absolut größer ist als jede andere Wurzel. Ferner ist die Unterdeter- 

 minante (n-2)'™ Grades -B^„(s), die dem Elemente se^^-a^,^ in B{s) kom- 

 plementär ist, positiv (> 0), falls s>q ist. 



