472 



Gesammtsitzung vom 14. Mai 1908. 



Nun ist 



A{s) = {s~ a„„) B (.) - 5 a„, a>,„ B^^{s) , 



wo y. und A die Werte ß, y, ■■■ v durchlaufen. Da B(q) = und B^^{q) > 

 ist, so ist A{q) < 0. Folglich hat die Gleichung A(s) =^ eine positive 

 Wurzel, die > q ist. Ist r die größte Wurzel dieser Art, so ist 

 r>q för jeden Wert von *. Ist also s > r, so ist s > q, und mithin 

 A„^{s) > 0. Sei 



— a^y + s ■ ■ ■ - a„,.. 



6'(.) 



■ • — a,.., + s 



und C^^{s) die Unterdeterminante (n-3)'™ Grades, die dem I]lemente 

 se,^-a,^ in C{s) komplementär ist. Ist p die größte positive Wurzel 

 der Gleichung C(s) = 0, so ist p<q<r. Ist s>p, so ist C(s) und 

 C^{s) positiv. Nun ist 



-A„i{s) = 



— a„ ;, — Oay 



— a.,:7, — o„. 



- «... + . 



demnach 



(I-) 



A„S (S) = ««3 C{s) + i 0„. 0,3 (:,(6') 



Daher ist 7l„3(*) > 0, falls s>p ist, also um so mehr, falls s > r ist. 

 Ist v{s) ^= A{s), so ist die Ableitung 



die Summe allei- Hauptunterdeterminanten (n-l)'"" Grades der Matrix 

 sE—A. Daher ist 9 (r) > , und mithin ist /• eine einfache Wurzel 

 der Gleichung 9(r) = o. 



Wenn die Gleichung ^^{s) = eine negative Wurzel hat, so sei 

 - q die kleinste; dann kann nicht q =- r sein. Denn auch die Ele- 

 mente der Matrix A^ sind alle positiv. Ihre größte reelle positive 

 charakteristische Wurzel wäre aber gleich r^ = q' , sie wäre also keine 

 einfache Wurzel. 



Es kann aber auch nicht q > ?• sein. Denn sonst wären auch die 



Elemente der Matrix A + ., (9 - r) E alle positiv, ihre größte positive 



Wurzel wäre r' = -^ (g + r), ihre kleinste negative -q =z - ^^(q + r) = —r', 



was nicht möglich ist. Demnach ist q < ;•. 



Wie übrigens leicht zu sehen, ist sogar r — q > 2k , wenn j^ kleiner 

 ist als jedes der Hauptelemente Ou > ^^22 > ■ ■ ■ o„„. 



