Frobenius: Über Matrizen aus positiven Kleiiienteii. 4(H 



Sei a + bi eine Wurzel der Gleichung si(r) = U, deren aljsoluter 

 Betrag möglichst groß ist. Sollte es außer a + bl noch andere Wurzeln 

 desselben absoluten Wertes geben, so wähle man a + bi so, daß a 

 (mit Berücksichtigung des Zeichens) möglichst klein ist. Ist also 

 a' + b' i eine von a + bi verschiedene Wurzel der Gleichung v{r) = 0, 

 so ist a'^ + b'' ^ a^ + b' , und lalls a'^ + b'' = a' + b'^ ist, so ist a' '> a. 

 Dann kann man eine positive Größe (j so wählen, daß, falls < A" < ^ 

 ist, für jede Wurzel a' + b' i 



i^a-kY^lr>{a-ky- + h'- 

 ist, oder 



cfi + b"^ - «'- - //'^ > 2k{a -a') . 



Denn ist 0-+ b- ^ a'- + b"\ so ist n-a'<0. Ebenso ist jene Bedin- 

 gung von selbst erfüllt, wenn zwar a'"+ b^ > a"'+ b"' ist, aber a<a' ist 

 Ist aber a > a' , so muß dann 



a' + b-'-a'-'-b'' 



k <C ■ ---■ — ~i\ — ' 



2(a-a') 



sein. Man bestimme diese positive Größe für jede von «±6/ verschie- 

 dene Wurzel a'+b'i, für die a'<a ist. Zu diesen Größen nehme man 

 noch die Elemente «u ^ ^22? ■" 0,,.; hinzu und bezeichne mit 'j die kleinste 

 aller dieser positiven Größen. 



Ist dann < ^ < ^ , so sind die Elemente der Matrix A - kE alle 

 positiv. Ihre charakteristische Gleichung hat die Wurzeln a-k±bi, 

 jede andere ihrer Wvu-zeln a'-k + b'i ist absolut kleiner. In dem an- 

 gegebenen Intervalle kann man ferner k so wählen, daß die Phase der 



Größe a - k + bi := pe'' zu 2- in einem rationalen Verhältnis steht. 



2/ TT 



S- = -^ — . Dann sind auch alle Elemente der Matrix {A - kE)"' positiv, 



und ihre absolut größte Wurzel ist {a — k±bi)'"z= p", ist also eine reelle 

 positive Größe. Wäre also ii von Null verschieden, so wäre diese 

 Wurzel keine einfache. Die absolut größte Wurzel der Gleichung 

 ip{s) = ist folglich reell; demnach ist, wie oben gezeigt, a positiv. 

 Ist ferner a'+b'i eine andere Wurzel, so kann auch nicht a'^+b'''^a^ 

 sein, weil sonst a'< a wäre. 



Für die größte Wurzel r sind nicht nur die Unterdeterminanten 

 (/i-l)'"' Grades von rE—A positiv, sondern auch alle Hauptunterdeter- 

 minanten aller Grade. Insbesondere ist ?• größer als jedes der Haupt- 

 elemente a,i , 0,2 , • ■ ■ a„„ . 



§ 2. 

 Sei (j die größte Wurzel der Gleichung A„^{s) = , ^' die von 

 Aß;:(s) = (• , (/" die von ^,^.,(*) = " usw. Dann ist r die einzige posi- 

 tive Wurzel der Gleichung A{s) = •' , die > g ist. Dies ist klar, wenn 



