474 Gesainintsit'/.unj; vom 14. Mni 1908. 



q die größte der Zahlen q, q , q", ■■■ ist. Denn ist dann s> q, so 

 sind die Größen A^„(s) , A^is), ^4.,.^(.s) , .. • alle positiv, folglich auch 

 ihre Summe 9'(s) . Wenn demnach s von q an wächst , so wächst 

 auch ^{s) beständig, kann also höchstens einmal verschwinden. 



Es ist mithin nur noch zu zeigen, daß 9{s) nicht verschwindet, 

 falls s zwischen irgend zwei jener Größen q und q' liegt. Nun ist 

 A(^ C(.) = A„„{s) A.i(s)-A„,(.) A,„{,) . 



Sei etwa q>q', dann ist q > q' > p ■ Für die Determinante (;«-l)'™ 

 Grades A„^(s) kann die Behauptung schon als bewiesen angesehen 

 werden. Diese verschwindet also für keinen Wert zwischen q und p 

 und ist daher, weil q eine einfache Wurzel ist, in diesem Intervalle 

 beständig negativ. A^nis) ist positiv, falls s > q' ist. ^„3(5) und 

 Ao„(s) sind positiv, falls s > p ist. Daher kann A{s) zwischen q und 

 q' nicht verschwinden. 



Ist q > s > q', so kann yl„„(s) nicht verschwinden, weil q > s > p 

 ist, und Aß^{s) nicht, weil s >■ q' ist. Ist q > q' > q", und liegt 5 

 zwischen q und q", so verschwindet -43-(.<t) nur fiir .s = q', aber für 

 keinen Wert zwischen q und q' und keinen zwischen q' und q". In 

 dem ganzen Intervall zwischen der größten und der kleinsten der 

 Größen q, q', q", ■■■ verschwindet also ^1„„(^*') nur für s ^= rj , Agß{s) 

 nur für .s = q' usw. Ist etwa q die größte und q' die kleinste dieser 

 Größen, so ist 



--l„4'y) = ' A:iMg) > , A....(cj) > , • • • 

 A^Ag') < , As,i(q') = , .4,^(9') < . • • ■ . 



Mithin ist 9'{q) ^ und 9'{q') 5^ . 



Die Gleichung q''(s) := hat eine reelle positive Wurzel zwischen der 

 größten und der kleinsten der Größen g, , q.^, ■■■ q,,^ falls q„ die größte 

 Wurzel der Gleichung A^„{s) = ist. 



Hat die Gleichung qi(s) ^= (' nocJi andere positive Wurzeln als r, so 

 sind diese alle kleiner als die kleinste der Größen q^, q,, ■ ■■ q„. 



§3- 

 Wenn die charakteristische Gleichung <^[s) = der Matrix A eine 

 einfache Wurzel r hat, die absolut größer ist als jede andere Wurzel, 

 so ist die Reihe 



(I.) (.£-.4)- = -^, + ^ + -^+...+-^.^+... 



konvergent, falls | •? | > | ?' | ist. Denn sie ist die Entwicklung einer 

 rationalen Funktion (d. h. von «" rationalen Funktionen) mit dem 

 Nenner 9(*), konvergiert also, falls .« größer ist als jede Wurzel der 



