Fünr.KNii-s: über Matii/.en aus positiven Eieiupiiten. 475- 



CTleicliung cp(ä) = 0. Die mljungiertc Matrix von P möge mit P be- 

 zeichnet werden. Dann ist 



Ist q>{s) = {s-r)\l(s), so erliält man durch Partialbruchzerleg'ung 

 ( 2 .) (s E- .1)-' = , , ^, — ^YE^^) + tI-, ^ ' 



wo 5 eine ganze Funktion von .« ist. Ist 



so konvergiert diese Eeihe, falls s größer ist als j'ede Wurzel der 

 Gleichung \t/(.<) = 0, also für .* = ?•. Daher ist 



(k = CO) . 



Nach (I.), (2.) und (3.) ist 



und folglich 



cp (r) 



A' 1 



r' cp'(r) 



oder wenn die Elemente der Matrix A'' mit a'^l bezeichnet werden, 



(4.) lim ;. = ,// 



und demnach, wenn ^1„3{/') von Null verschieden ist, 



(5-) ^'""^ar^''' 



Die Formel (5.) gilt auch, falls r eine mehrfache Wurzel der Cxlei- 

 chung 9(r) = ist, die absolut größer ist als jede andere Wurzel. Nur 

 muß dann p„ß von Null verschieden sein, -falls die Matrix P = (^„;) 

 der Koeffizient des Anfangsgliedes in der Entwicklung von (sE-A)~' 

 nach steigenden Potenzen von s-r ist. 



§ 4- 

 Wird von der Matrix A nur vorausgesetzt, daß ihre Elemente 

 ö,,^^0 sind, so lassen sich durch Benutzung der obigen Beweisme- 

 thoden und durch Stetigkeitsbetrachtungen leicht die Modifikationen 

 feststellen, unter denen die entwickelten Sätze gültig bleiben. Die 

 größte Wurzel r der Gleichung v{s) = ist reell und positiv (^0). 



