476 Gesainiiitsitzuni; vom 14. Mai 1908. 



Sie kann eine mehrfache Wurzel sein, aber nur, wenn die Haupt- 

 unterdeterminanten ^„„(r) sämtlich verschwinden. Ist sie eine A; fache 

 Wurzel, so verschwinden alle Hauptunterdeterminanten (m-I)*"", (w-2)'''°, 

 • ■■{n-k + Ip Grades der Matrix rE- A . 



Den Wert kann r nur dann haben, wenn die Größen r/„„ , a^^a^„, 

 '^cc-i'^iy'^'-a r c^s'-'iyi^yiCi«^ '" sänitlicli verscliwindeu. 



Sind die Größen a^y beliebig, so liegen die reellen Teile der Wurzeln 

 der Gleichung | fl,^-u«f,^ | = zwischen der größten und der kleinsten 

 Wurzel der Gleichung 



.^- (««>. + äx^)-Sf\x =0, 



wo ß^; die zu a^>^ konjugierte kom^^lexe Größe ist. (Hirsch, Sur les 

 racines d'une equation fondamentaJe , Acta math. Bd. 25.) Ist also o,^ 

 positiv, so ist die größte Wurzel r der Gleichung <p(s) = kleiner 

 ^üs die größte Wurzel der Gleichung 



Betrachtet man die ri- Elemente r?^^ als reelle positive Veränder- 

 liche, so ist /• eine eindeutige Funktion derselben. Differenziert man 

 die Gleichung (p(r) ^ nach a^, , so erhält man 



Mithin ist die Ableitung positiv, und folglich Avächst r, wenn eins 

 der Elemente zunimmt. Mit Hilfe dieser Bemerkung kann man auf 

 verschiedene Arten Grenzen finden, zwischen denen r liegt. 



Sind die Elemente o^, einer Matrix w'"' Grades alle positiVj so liegt 

 ihre größte charakteristische Wurzel zwischen der größten und der kleinsten 

 ■der n Zahlen 



«„ ^ «Ol + ««-i +•■•+«„„ (a = 1 . 2 . ■ • • n). 



Man addiere in der Determinante A(r) ^ zu den Elementen 

 ■der a*" Spalte die der («-1) anderen Spalten und entwickle dann 

 die Determinante nach den Elementen jener Spalte. So erhält miin 



(r-rt,).4„i(r) + (r-a,) .■!„,()■)+ ... + (r-fl„) -l„„(r) = 0. 



Da die Unterdeterminanten ^«>.(r) alle positiv sind, so können daher 

 die Differenzen r-a^, r-a^. ■■■ r-a„ nicht alle dasselbe Zeichen haben, 

 und folglich muß r zwischen der größten und der kleinsten der Größen 

 <7, , flj , . . • a„ liegen. Sind speziell diese Größen alle einander gleich, 

 so muß auch r ihnen gleich sein. 



