664 Gesanimtsitziing vom 25. Juni 1908. — Mittheiliing vom 4. Juni. 



Über die Darstellung der symmetrischen Gruppe 

 durch lineare homogene Substitutionen. 



Von Dr. Issai Schur, 



Privatdozent an der Universität zu Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius am 4. Juni 1908 [s. oben S. 593].) 



rLine genaue Übersicht über die irreduziblen Gruj^pen linearer homo- 

 gener Substitutionen ®„, die der symmetrischen Gruppe «'™ Grades ©„ 

 isomorph sind, hat zuerst Hr. Frobenius durch Bestimmung der Charak- 

 tere von ®„ gewonnen^ Die Charaktere von ©„ habe ich später in 

 meiner Dissertation^ noch auf einem anderen Wege erhalten; zugleich 

 habe ich gezeigt, daß man die wirkliche Konstruktion der Gruppen ®„ 

 auf die Berechnung gewisser Determinantenrelationen zurückführen kann 

 (D., § 36). Eine weitere Methode zur Berechnung der Charaktere von ©„ 

 und der Gruppen ®„ hat Hr. Frohexius in seiner Arbeit Über die charakte- 

 ristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe^ angegeben. In dieser Arbeit 

 hat Hr. Frobenius auch zuerst den Satz ausgesprochen, daß jede der 

 Gruppen ®„ bei passender Wahl der Variabein als eine Gruppe mit 

 rationalen Koeffizienten geschrieben werden kann^ 



In der vorliegenden Arbeit soll nun genauer gezeigt werden, daß 

 sich jede der irreduziblen Gruppen ®„ bei geeigneter Wahl der Variabein 

 auch als eine Gruppe mit gamzahliyen rationalen Koeffizienten dar- 

 stellen läßt. Da nun jede Gruppe linearer Substitutionen, die der 

 Gruppe ®„ isomorph ist, als eine endliche Gruppe vollständig reduzibel 

 ist, so ergibt sich zugleich der Satz: 



Jede Gruppe linearer homogener Substitutionen^ die der symmetrischen 

 Gruppe n"" Grades isomorph ist_, läßt sich durch eine lineare Transforma- 

 tion der Variabein in eine Gruppe mit ganzzahligen ratio7ialen Koeffizienten 

 überführen. 



■ Sitzungsberichte 1900, S. 516. 



^ über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zvordnm lassen, 

 Berlin 1901. — Im folgenden mit D. zitiert. 



^ Sitzungsberichte 1903, S. 328. 



* Dieses Resultat ergibt sich auch ohne weiteres aus den Betraclitungen des § 36 

 meiner Dissertation. 



