I. Schur: Über die Darstclliinf; der symtnetrisclieii Gruppe. 665 



§ I- 



Ks iiiögcii zuiiä(!li,st einige Beinorkuiigeii über die (;li;ii"iktere der 

 .symi)ictri.sclieii Grupjjc^ <£„ vorausgeschickt werden. 



Man liabe eine (irui)pe ® linearer lioniogener Substitutionen von 

 nicht verschwindenden Determinanten, die der Gruppe <B„ isomorph 

 ist. Entspricht dann die Substitution A von ® einer Permutation R 

 von ®„, die in a^ Zykeln der Ordnung i , ferner ot^ Zykehi der Ord- 

 nung 2 zerCällt usw., so sei %(R) = Xai.oj.. .•,■.„ 'üf^ Spur der Substitu- 

 (ion Ä. Die (Gesamtheit der Zalden %{R) wird als der C/iara/ärr der 

 Gruppe® bezeichnet. Hedeuten ferner .v, ,a\^, •■•, .v„ una})]i;ingige Vnrial)l(', 

 so nenne ich die Funktion 



* ^ -^ «,!«,!• ■•«„! \ 1 j [2) '"[11) 



die ('/u/raklf'rktik der Gru{)pe ®; hierbei ist die Suinmation über alle 

 nicht negativen ganzzahligen Lösungen der Gleichung 



Kl + 2 «2 + • ■ ■ + na„ = n 



ZU erstrecken. Durch di(; (Charakteristik * ist di(! Gruppe ®, wenn äqui- 

 valente (ähnliche) (jlru])pen als nicht voneinander verscliieden gelten, 



eindeutig bestimmt. Der Koeflizient /= 'X,,,,,,, ,,.,(, von ', gibt die 



Anzahl der Variabein oder den Grad der (Jrup])e 63 an. 



Die Anzahl der nicht ä(|uivalenten irreduzibhin (iruppen ®, die der 

 Gruppe; (S„ isomorjjh sind, ist gleich der Anzald k der Zerlegungen 



(i.) n=^X, + \,+ ■■■ +K, {K<'Ki^---SX^) 



der Zahl n in positive ganzzahlige Summanden. Die der Zerlegung (i) 

 entsprechende irreduzible Grup})e werde mit ®,.|,>,j, ...,,, bezeichnet. 

 Die Gharakteristik 4>>,,;^^, ...,;^, dieser Gruppe läßt sich folgendermaßen 

 bestimmen. Man bezeiclme mit p,^ die Funktion 



und setze noch p„ = 1 , ^_, = p_2 = • ■ • = 



Dann wird (vgl. D., § 23) 



(2.) 



*>.,.x... 





Ph-i+i 



Der Grad f,^,^...,^, der Gruppe ®^_,>j ,, ist gleich 



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