I.Schur: Über die narstelliinu; der .symmetrischen Gruppe. 60/ 



§ 2. 



Eine der Gruppe ©„ isomorphe Grujipe ® mit der Charakteristik 

 P>., 'P>. ■ ■ ■ P>.= kann am einfachsten folgendermaßen hergestellt werden. 



Es sei allgemein ^^ (x^ , x.^ , ■ ■ ■ , x,) irgendeine (ganze rationale) Funk- 

 tion der Variabein x^,x^, •■■ , .r„. Unterwirft man in der Funktion <p 

 die n Variabein allen h ^ n\ Permutationen von <S„ , so mögen >n ver- 

 schiedene Funktionen 



(4.) 9i ' 92 ' • • • ' 9- 



entstehen. Jeder Permutation R von @„ entspricht dann eine Permu- 

 tation R' der m Funktionen (4), und diese Permutationen der 9„ bilden 

 eine mit @„ isomorphe Gruppe ®, die auch als Gruppe linearer homo- 

 gener Substitutionen aufgefaI3t werden kann. Die Spur %(Ä) von R' 

 gibt dann an, wie viele unter den Funktionen (4) ungeändert bleiben, 

 wenn die Variabein die Permutation R erleiden. Die Zahl 'Xj(^) ist 

 bekanntlich eindeutig bestimmt durch die Permutation R und die Unter- 

 grujjpe 51 von @„ , bei deren Permutationen die Funktion 9 ungeändert 

 bleibt. Man setze 



und nehme an, daß 9 durch die Permutationen des Komplexes 21<S„ 

 in q>„ ül>ergeführt wird. Dann läßt 9„ nur die Pernmtationen der 

 Gruppe <S,7'515„ zu. Daher gibt %{R) an, wie viele unter den Gruppen 



das Element R enthalten. Bildet man für alle h Permutationen S von 

 (3„ die Gruppen S~'51S, so enthalten unter diesen Gruppen, wenn a 

 die Ordnung von 5( ist, genau 0% (R) die Permutation R. Dies kann 

 man auch anders ausdrücken: unter den h Elementen SRS~^ kommen 

 a%{R) in 21 vor. Sind nun 



(5-) ßi ) -ßj. ••■ , Rh^ 



die zu R konjugierten Elemente von ©„, so werden miter den P]le- 



menten SRS~^ genau -, gleich R,. Ist demnach o, die Anzahl der 



Ellemente (5), die in 51 enthalten sind, so wird a%{R) = ^ a^, also 



Man denke sich nun die Funktion 9 so gewählt, daß 51 die Untei"- 

 gruppe ®x,,,j. ...,>., der Ordnung A, ! A, ! ••■ A ! von <B>„ wird, deren Per- 



' Vgl. Frobeniu.s, über Relatimien zwischen den Charakteren einer Gruppe und 

 denen ihrer \]ntergruppen, Sitzungsberichte 1898, S. 501. 



