668 Gesammtsitzung vom 25. Juni lOOS. — INIittlieilmiii vom 4. Juni. 



mutationen die Ä, ersten Ziflern untereinander vertauschen, ferner die 

 Aj folgenden usf. Dann wird (vgl. D., § 12) die durch den Charakter 

 %(/?) bestimmte Charakteristik 4> von ® gleich Px^P,, -p>,- In diesem 

 Fall soll die Gruppe© auch mit ^,.,.> -,, bezeichnet werden. 



§3- 



Es erweist sich als nützlich, im folgenden von den Bezeichnungen 

 der Theorie der Moduln Gebrauch zu machen. 



Unter einem Modul verstehe ich hier ein System M von homo- 

 genen Formen derselben Ordnung in »i Variabein x^, x.,, ■■• x„, das durch 

 folgende Eigenschaft charakterisiert ist: sind 9 und -J/ zwei Formen 

 A'on M und bedeuten a und h zwei beliebige Konstanten, so enthält 

 M auch die Form «9 + i\i/. In M lassen sich dann gewisse m linear 

 unabhängige Formen 9i . 9, , • • • , 9„, angeben, so daß die Gesamtheit 

 der Formen von M übereinstimmt mit der Gesamtheit der linearen 

 Verbindungen 0i9i + 0,92 + • • • + '7„9„ mit konstanten Koeffizienten «„ 

 öj , • • • , o„.. Die Zahl m nennt man die Ordnung, die Funktionen 9i, 

 ^■ii '■■ i^m eine Basis des Moduls M. Multipliziert man alle Elemente 

 von M mit irgendeiner Form v^, so entsteht ein neuer Modul, der mit 

 viiM bezeichnet werden soll. Der Modul M soll ein synimetrischer Modul 

 heißen, wenn fiir jede Form 9 von M auch alle aus 9 durch Ver- 

 tauschung der Variabein hervorgehenden Formen in M entlialten sind. 

 Hat man mehrere Formen 9 , -v^ , • ■ • derselben Ordnung und geht 9 

 bei den w! Vertauschungen der Variabein in 9,9", ■•• über, ebenso v^ 

 in -vi/', \^", ••• usw., so bildet die Gesamtheit der linearen Verbindungen 

 a'9' + «"9"+ •• • + h'-Ai' + h"-i^" -\- ■ • 



einen symmetrischen Modul M. Wir wollen dann sagen: M sei der 

 durch die Formen v , 4^ , ■ ■■ erzeugte symmetrische Modul. 



Jedem symmetrischen Modul M in n Variabein entspricht eine 

 Gruppe 5]fJ linearer homogener Substitutionen, die der Gruppe ö,, iso- 

 morph ist. Bilden nämlich 9i , 92 , ■ • ■ > •?„ eine Basis von M und geht 

 9„ durch die Permutation R der Variabein in 9„ über, so ist nach Vor- 

 aussetzung 9„ in M enthalten und folglich 



9„ = am9i + «„292 +•••-!- a»m9»> ' 

 wo die o„„ gewisse Konstanten sind. Die so entstehenden n ! Sid^stitu- 

 tionen A = (o^,) bilden dann eine der Gruppe ©„ isomorphe Gruppe 9Ji, 

 die wir die Gruppe des Moduk oder auch genauer die zur Basis 9, , 9^ , • ■ • , 9„, 

 gehörende Gruppe des Moduls nennen. Wählt man an Stelle von 9i , 93 , • • • , 9„ 

 eine andere Basis von >I, so geht 9)i in eine äquivalente Gruppe 9)t' über. 

 Man habe nun r Formen derselben Ordnung %!/, , -vl/j , • • , \^, in den 

 n Variabein x.,x^, ■■• , x„, die nicht notwendig linear unabhänü-iff sein 



