I. S(Hin: TThcr die Daistolliini; der symineti'ischen Gruppe. fio.) 



sollen. Ks sei Ix'kannt. daß, wenn -d^^ bei irgendeiner Perniutation R 

 der Variabeln in -4^ übergeht, sicli Kon.stanten b.. bestimmen lassen, 

 so daß 



4'i = h '''l + f>^i4>2+ '•■ + h^r^r 



wird: man bezeichne die Substitution (6^J mit Z?. Die Gesamtheit der 

 Ausdrücke Cj-v^, + C-i'^i + • • •. + c,-^, mit konstanten Koeffizienten (\ bildet 

 dann einen symmetrischen Modul M, dessen Ordnung m angibt, wie 

 viele unter den Funktionen vi/, , -v/zj , ■■• ,-^,. linear unabhängig sind. Man 

 wähle nun eine Matrix Q = (9 J von nicht verschwindender Deter- 

 minante, so daß unter den /• Funktionen 



die ersten rn untereinander linear unabhängig, die letzten r — m da- 

 gegen gleich Null werden. Dann erhält die Matrix QBQ~^ die Form 



(6.) QBQ-^={^^^), 



wo A eine Matrix des Grades tn bedeutet. Die so entstehenden n ! 

 Matrixen A bestimmen dann, wie man leicht sieht, die zur Basis 

 ^1 > '^'2 ) ■■■ ) '^». gehörende Gruppe des Moduls M. Bilden insbesondere 

 die n ! Substitutionen B eine mit ®„ isomorphe Gruppe 9^, so folgt 

 aus der Gleichung (6), daß die Gruppe des Moduls M kernen irreduzihlen 

 Bestandteil enthält, der nicht auch in der Gruppe 9^ enthalten ist. 



Es sei wieder M ein beliebiger symmetrischer Modul der Ord- 

 nung m in n Variabein, und es sei A ein Teilmodul der Ordnung a von 

 M, der ebenfalls symmetrisch ist. Sielit man dann zwei Funktionen 

 von xM, deren Differenz in A enthalten ist, als nicht voneinander ver- 

 schieden an, so erscheint M, mod. A betrachtet, gewissermaßen als 

 ein symmetrischer Modul der Ordnung m-a = r. Der so entstehende 

 Relativmodul T soll der zu A komplementäre Modtd heißen. In M lassen 

 sich ferner r Formen »), , »ij» ■■ ^ *l, bestimmen, so daß jede Form 9 von 

 >I mod. A einer linearen Verbindung 0^?!^ + c^yi.^ + ■■■ + r//;,. kongruent 

 wird. Die Funktionen »i, , »la , ■ ■ ? 1, bilden dann, wie wir sagen wollen, 

 eine Basis des komplementären Moduls P. Geht v\ durch die Permutation R 

 der Variabein in »j, über, so wird 



V 



^j ^ Cji -/ji + Cj2r]2 + • • • + Cj.rjr (mod. A) ; 



hierbei bedeuten die r,_ gewisse Konstanten. Die den verschiedenen 

 Permutationen von ©„ entsprechenden Substitutionen {c._) bilden eine 

 mit ©„ isomorphe Gruppe 9{, die Gruppe des komplementären Moduls P. 

 Diese Gruppe 9t läßt sich bekanntlich auch folgendermaßen charakte- 

 risieren : man bestimme eine Basis ^1 , ,^3 > ' " ■> '^a <les Moduls A und be- 



