1. Sciuir: Über die Darstellung der symmetrischen Grnjipe. n7H 



vorkoniineii muß. Die Ordnung r des Moduls P ist daher nicht kleiner 

 als der Grad 



/ =^/>.l,>2 >■? 



von @. 



Können wir daher/ Funktionen X^ , X^, • • • , X^ in M angeben von 

 der Art, daß jedes der Produkte (lo) inod. A einer linearen Verbindung 



f, Xi + C2X2+ ■■■ + CfXf 



kongruent wird, so muß /• = / sein : die Funktionen X^,X^_, •■■ , Jy 

 bilden dann eine Basis von P, und die zu dieser Basis gehörende 

 Gruppe 9t kann gleicli @ gesetzt werden. Gelingt es insl)esondere 

 für die Funktionen X^, X„, ■■■ , A^ gewisse unter den Potenzjirodukten 

 (10) zu wählen und nachzuweisen, daß die Koeffizienten c^,c^, '" ^^r 

 sämtlieli ganzzahlig werden, so werden auch die Koeffizienten der zu- 

 gehörigen Gruppe 5R := ® ganze Zahlen. 



Man gelangt nun zu einem solchen System von Potenzprodukten 

 A"i , A'j , • • • , A^ auf folgendem Wege. 



Man setze 



usw., zuletzt sei 



(12.) ir(^l-''2.- •••>■?) ^ ^"■|r{>.l-l.>.3.---.^j1 _J.^"—I^(''l. ^2-1. •••■>.;) 



Hierbei ist rechts fär A, = 1 



und, wenn für ein y. die Indizes Ä^_, mid Ä^ einander gleich sind, 



ZU setzen. Auf Grund der Rekursionsformel (12) wird also für jedes 

 System von p Indizes 



eine woldbestinnnte ganze rationale Funktion F^''"''"^'" •'■** von A, + A, H + A 



Variabein bestimmt, die in bezug auf die erste Variable vom Grade 

 TW = p - 1 ist, die letzte Variable aber nicht explizite enthält. So ist z. B. 



p(i,n-i) _ ^^ _^^^.^ ha;„_i, 



pCi.,,-2) — ^^(^^ ^. . . . ^ ^^ _j 4. .^^(j.3 + . . . + ,r:„_,) + ■■■ + .v„.-4x„.. + JT„ _,) . 



Aus der Bildungsweise der Funktion F = pi>i'>'^---'>>) geht nun un- 

 mittelbar hervor, daß F eine Summe von gewissen /' Potenzprodukten 

 aus der Reihe (10) ist. Diesf ZaJd f ist aber gleich dem Grad f=f^ ,>„...,,^^ 

 der Gruppe ®. Denn dies ist richtig für n — 2; nimmt man aber unsere 



