I.Schur: Ül)er die Darstellung der syiniiietiischen Gruppe. HYD 



folglich ist 



(14.) Z.arx,-x, + -2^Cx,-!, + 3---^u+i ^ (-iY'^Cf'l....,x,-K, + i.x, + i,...x, + x, (inod.A). 

 Dcis links stelieiuU' Produkt entliält nun den Faktor x,"' x!:'~' ■■■ x'"'\ 

 ferner ist jedes der I '1 Glieder der rechts stehenden Summe durcli 



mindestens eine der Potenzen x"' ,x"', ■■■ ,x^ teilbar. Da nun die Formel 

 (14) richtig bleibt, wenn die Variabein Xi.a-j, •••, x„ irgendwie pennu- 

 tiert werden, so ist unsere Behauptung als bewiesen anzusehen. 



Wir betrachten jetzt die Funktion F. Man bezeichne mit A^ den 

 Koeffizienten von x"' in F, ferner sei F. die Funktion /»'('i-'-'^- ' ■';) der 

 n-1 Variabein (13) und i>„ = F,.-A^. Dann gilt folgende Regel: 



III. Für V = 1,2,- ■ ,ij. ist D^ = , also A, = F.. Ist aber v>ij., 

 so wird ü„ eine Summe von Pofen:produkten_, von denen jedes einen Faktor 

 X™ " ' o;^ ~ ^ • • • x2'J ' enthält; hierbei bedeuten a.^,oL^,-- ■ ct^ Indizes aus der Reihe 

 l,'2,---,i/-l. " 



Der Beweis ist mit Hilfe der Rekursionsformel (12) zu führen. 

 Man bezeichne zur Abkürzung die Funktion 



r(>,i.--.x,-i,).„+i,.-.).j) 

 -^ 2 



der n-\ Variabein x.,,---Xn mit i^*"', so daß also 



F = < FC) + <-' FW + --- + X, FW + F("' + ') 



wird. Dann ist zunächst, wie zu beweisen ist, 

 .4, = FC) = F,. 



Ist nun !'>! und bedeutet -4^"* den Koeffizienten von a;"' in i^*"', so wird 



4 = .r;"^C) + xr' 4'* + • ■ • + .r, ^W 4- .4("' + ". 



Hierbei ist zu beachten, daß Af'' fiir Ä; = 1 gleicli zu setzen ist, 

 da dann FC = F^-''-' ^-^ keine der Variabein in der ???'''" Potenz ent- 

 hält. Die mit Hilfe der n-2 Variabein 



gebildeten Funktionen 



bezeichne man mit i^J'' und Fj"' und setze noch Z)J"* = i^j"' - Al'K Füi- 

 \ = 1 hat man hierbei Fy\ und also auch Dy\ gleich zu setzen. 

 Ebenso soll, entsi^rechend einer früher gemachten Festsetzung, F}'^ = 

 sein, wenn fiii- k>2 die Indizes Ä^_, und A„ einander gleich werden; in 

 diesem Fall wird zugleich F'*"' und also auch iJJ"' gleich 0. Für Aj = A.^ 

 ist aber F^"^ — Af^ — 0, dagegen F}'^ — D'f^ von Null verschieden. Nun 

 wird auf Grund unserer Rekursionsformel 



F; = x"; FC> + ;cr-' F« + --- + X, Ff» + Fj"'+'>, 



