I. Schur: ÜUer (iit; Dnistellung der .synini('tri.scli(;ii Oriijjpe. bV t 



von F kongruent sind. Wir Jinbcn also zu zeigen, daß T alle Potenz- 

 produkte X^"^ enthält. Nun nehmen wir unseren Satz, der für n = 2 

 unmittelbar zu bestätigen ist, für weniger als n Variable als bereits 

 bewiesen an. Sind dann 



iT^ i-'y\ t'?\ • ■ • 



die Potenzprodukte der Variabein (IH), die die Basis des Moduls M^ 

 bilden, so ist jedes dieser Produkte mod. .\„ einer ganzzaldigen linearen 

 Verbindung der Glieder der Summe F. kongruent. Zeigen wir daher, 

 daß in T alle Glieder der Summe x"'F^ vorkommen, so können wir 

 aus der Tatsache, daß A den Blodul x'"A.„ enthält, unmittelbar schließen, 

 daß T auch alle Potenzjirodukte 



K u}''\ < uy\ < U}'\ • • • , 



d. h. alle durch x^ teilbaren Potenzprodukte X*"' enthält. 



Ist nun V < jx, so enthält T gewiß alle Glieder der Summe x"'F^.. 

 weil diese Glieder wegen III auch in der Summe F vorkommen. Also 

 kommen in T auch alle Produkte A'"' vor, die einen der Faktoren 

 x"',xT, ••■ ,x^ enthalten. Es sei für v > ß schon gezeigt, daß T alle 

 Produkte A'"' enthält, die durch eine der Potenzen a;|", x", • ■ ■ , a;" , 

 teilbar sind. Auf Grund des Satzes II können wir dann schließen, 

 daß T auch alle Produkte A'"' enthält, die einen Faktor der Form 

 '^nr'K[~^ •■■ K'~' entlialten. wobei cc^,a,.^, ■■■,ol^ Indizes aus der Reihe 

 l,2,--,v-l bedeuten. Folglieh kommen wegen 111 in T auch alle 

 Glieder der Summe x'."D.. und mithin auch alle Glieder der Summe 



vor. — Damit ist aber der Satz I bewiesen. 



W^ir können den .Satz aussprechen: 



IV. Um die der symmetrischen Gruppe n""' Grades isomorphe irredu- 

 zihle Suhstitutionsyruppe %t.^,\.. ■ ■ ■ ,>., ^u konstruieren^ bilde man den sym- 

 metrischen Modul A und den Ausdruck F = F^''" ''■•"' ''^^j der eine Summe 

 von f Polenzprodukten A", . X2 , ■■■ , Xj- der Variabein x^ , x^, ■■■ , x„ ist. 

 Führt die Permulation R der Variabein das Potenzprodiüd X„ in A„ über, 

 so lassen sich ganze Zahlen c„a in eindeutiger Weise berechnen^ so daß 



X„ i^ c„i Xi+c„iX2+ ■■■ + c„fXj (mod. A) 



wird. Die so entstandenen n! Substitutionen (r;,j) bilden dann die Gruppe 



®..>.. .r 



Die Koeffizienten r„3 sind als bekannt anzusehen, sobald es gelingt, 

 die iV— / von X, , A'j , • ■ • A^ verschiedenen Potenzprodukte A'"* mod. A 

 durch A"i , A'2 , • • • , Xj darzustellen. Man hat also im ganzen nur {N-f)f 

 Koeffizienten zu berechnen. 



