Kronecker: Algebraische Reduction der Schaaren quadratischer Formen. oi 



VII. 



Um in voller Allgemeinheit für ein beliebiges Paar quadratischer 

 Formen : 



| (p , \!/] oder 



i. k i. k 



(/'./■ 1.2....//) 



das System der Invarianten aufstellen zu können, ist zuvörderst die 

 Rangzahl des Systems: 



(«0» + vb ik ) (*,*=i,a,.:.n) 



zu ermitteln. Bezeichnet man dieselbe mit p, so bestehen zwischen 

 den ii partiellen Ableitungen von it(p + r-\l genau n — o von einander 

 linear unabhängige homogene lineare Relationen, und diese kann mau 

 sicli so autgestellt denken , dass ilire Coefficienten, als ganze homogene 

 Functionen von u und v, von möglichst niedriger Dimension werden. 

 Ist für genau n — r von den n — p Relationen die Dimension gleich 

 Null, so lassen sich beide Formen, cf) und \js , als quadratische Formen 

 von nur r homogenen linearen Functionen der n Variabein x dar- 

 stellen, und man kann deshalb die Zahl r füglich als den »Rang des 

 Formenpaares [r/>,-J/]« bezeichnen. Nun seien für die übrigen r — p 

 Relationen die Dimensionszahlen, ihrer Grösse nach geordnet: 



7K+.-O1 r(«?+.-0, t(«?+3 -0,... tW-0i 



so dass: 



i<n; +1 <n° +2 <n° +3 < ... <n° r 



ist. Ferner sei w eine unbestimmte Variable und / irgend eine ganze 

 Zahl, für welche der Rang des Systems: 



(iva l/c — (tw + i ) /;,,,) (i, h = i, %, . . . ») 



nicht kleiner als p und also gleich p ist. Alsdann gehen jene linearen 

 Relationen in solche zwischen den verschiedenen partiellen Ablei- 

 tungen von w<p — (tw + O^ über, deren Coefficienten ganze Functionen 

 von w von den Graden: 



7l«? +I -i), tK+.-0. ■■■tW-0 



sind. Endlich sei für irgend eine Zahl >c<p der grösste gemeinsame 

 Theiler aller Subdeterminanten xter Ordnung, welche aus dem System 

 der Coefficienten von w<p — (tw -\- i ) -^ gebildet werden können, das 

 Product: 



I (w — to> M ) " ( v = i,2,...), 



und aus den Zahlen ( seien die Zahlen n durch die Gleichungen: 

 bestimmt. 



