40 Gesammtsitzung vom 15. Januar. 



Denn da gemäss den Ungleichheiten (11): 

 <<w°<w°<.... 

 ist, so muss diejenige Relation von der Form ($'), welche von 

 möglichst kleinem Grade in w ist, mindestens vom Grade j{n° i) 

 sein , und da sie auch von nicht höherem Grade sein darf, so kann 

 sie nur ein Aggregat derjenigen Gleichungen ( s 33°) sein, für welche 

 n° = n° x ist. Da nun über die Reihenfolge derjenigen Relationen, 

 welche von demselben Grade in w sind, nichts festgesetzt worden ist. 

 so kann angenommen werden, dass jenes Aggregat die. dem Werthe 

 \x = i entsprechende Relation ($3°) enthält. Alsdann kann aber diese 

 Relation selbst an Stelle jenes Aggregats genommen werden, ohne 

 die festgesetzten Eigenschaften des Systems der r — p Relationen zu 

 ändern. In der zweiten Relation von der Form ( S 1V) muss nunmehr 

 mindestens eine der Functionen G 2 , Gr 3 , . . von Null verschieden sein, 

 und der Grad in iv ist demnach nicht kleiner als j(n° — i). Da der 

 Grad aber auch nicht grösser sein darf, so kann die Relation nur 

 aus solchen Relationen ($}°) zusammengesetzt sein, bei welchen n°"^nl 

 ist, und es kann angenommen werden, dass die dem Werthe \x = 2 

 entsprechende Relation (5$°) wirklich dabei vorkommt. Alsdann kann 

 aber wiederum diese Relation selbst an Stelle jener zusammengesetzten 

 genommen werden, ohne die Eigenschaften des .Systems der Relationen 

 zu ändern. Schliesst man so weiter, so gelangt man zu dem nach- 

 zuweisenden Resultat, dass die Relationen (93°) ein System von r — p 

 Relationen möglichst niedrigen Grades bilden. 



Die Gradzahlen eines solchen Systems sind oben mit: 



|(n; +x -i) (« = !,»,. ..V-p) 



bezeichnet, in den Relationen (33°) sind sie durch: 



tW-0 <p=i,»...-) 



gegeben; die Zahlen n° und Xl° ?+It müssen also mit einander überein- 

 stimmen, und da beide Zahlenreihen ihrer Grösse nach geordnet sind, 

 so muss für jeden der Indices x = i, 2 , . . . r — p: 



n°+„ = »ü 

 sein. 



Da ferner die Zahlen n {v) , für welche v>o ist, für jeden be- 

 stimmten Werth von v ebenfalls ihrer Grösse nach geordnet angenom- 

 men worden sind, so ist der grösste gemeinsame Theiler aller Subdeter- 

 minanten xter Ordnung, welche aus dem System der Coefficienten 

 der mit (%) bezeichneten quadratischen Form der Variabein X}£ gebildet 

 werden können, gleich: 



(w — wr ■') 



