Kronecker: Algebraische Reduction der Schaaren quadratischer Formen. 41 

 Da andererseits derselbe grösste gemeinsame Theiler oben in der Form: 



dargestellt worden ist, so ergiebt sieb, dass für jedes Paar von 

 Werthen x, v: 



w lv) = tu'"' und »J° + n^ + . . . + tf = H? + n^ + . . . + R? , 



also in der Tliat stets: 



uP = to M , »? =n? /> = i,a,... \ 



Vx = i,a,...p/ 

 sein milSS. 



Hiermit ist die Vollständigkeit des Invariantensystems (^°) dar- 

 ti'ethan. Die Übereinstimmung der Zahlen n und n, auf welche der 

 Beweis gegründet worden ist, setzt zugleich zwei wesentliche Eigen- 

 schaften der Invarianten -Zahlen n in Evidenz, nämlich erstens, 



dass die Summe aller Invarianten -Zahlen n gleich der Rang- 

 zahl /■ des Formenpaars [cp , \|/] ist, 



da die damit übereinstimmende Summe aller Zahlen n® die Gesammt- 

 anzahl aller in den verschiedenen quadratischen Formen «fej^, Jf^' ent- 

 haltenen Variabein angiebt und daher mit der Rangzahl des reducirten 

 Formenpaars (5\ ), also auch mit der des Formenpaars [</> , \b] identisch 

 ist, zweitens, 



dass, wie die Ungleichheiten (11) unter Berücksichtigung der 

 nachgewiesenen Übereinstimmung von tt ( J° und ntf zeigen, die 

 in je einer Horizontalreihe stehenden Invariantenzahlen: 



i«, «?>, <, ...n« 



(v=i, 



ihrer Grösse nach auf einander folgen, d. h. dass: 



o<ni"><nf < . . . <n« 



und folglich für die oben definirten Exponenten Cj' die 

 Grössenbedingung : 



erfüllt ist. 



Es ist schliesslich noch als ein wichtiger Punkt hervorzuheben. 

 dass die zwischen den partiellen Ableitungen der quadratischen Form: 



u (p + o\{/ oder ^ (7Ht ik . + vb ik ) x- t x k (i, k == i, 2 , . . . ») 



bestehenden linearen Relationen nicht blos in den Zahlen, welche 

 ihre Dimension in Beziehung auf u und v angeben, sondern auch in 

 ihren Coefficienten selbst Elemente zur Bildung von Invarianten für 

 die lineare Transformation des Formenpaars: 



