16 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 8. Januar. 



darstellen. Da nun oben dieser Ausdruck durch Transformation aus (ß) 

 und dieser wiederum durch Transformation aus einer beliebigen Schaar: 



X ( wta + r hu) $i x * (t , jt = i , 2 ; . . . n), 



bei Festsetzung der Gleichungen: 



u — 10 , v = — wt — i, 



hervorgegangen ist, so zeigt sich als Hauptresultat der vorstehenden 

 En twi cke hingen , 



dass sich eine beliebige Schaar quadratischer Formen: 



X ( Wö ** + üh ik) x i x k (i, k = 1,2,... I») 



stets in eine Schaar: 



(H) XXä^+ w ")*?+ y ^i 



(p=I,2,...) 



transformiren lässt, in welcher die auf v bezügliche Sum- 

 mation von v = o oder von v = i anfängt, je nachdem 

 die Determinante der Schaar gleich Null oder von Null 

 verschieden ist, und welche füglich als eine * »reducirte 

 Schaar« bezeichnet werden kann. 

 Nun ist: 



U = u , V — tu + v ; 



es zeigt sich also ferner. 



dass sich ein beliebiges Paar quadratischer Formen: 



^ a ik x i x k s J^ Dik x i x k\ { i . k = i , 2 , . . . ti) 



L i.k i.k I 



stets durch lineare Transformation der Variabein in ein 

 »reducirtes« Paar: 



(9*') [2 ((*° w + l ) *!? + **?) ' X ( WjH *? + *i")l 



(u — I, 2. . . .: v = 0, 1, 2, . .'.) 



verwandeln lässt, in welchem aber nur dann die Summation 

 auch auf v = o zu erstrecken ist, wenn die Determinante 

 der aus den beiden Formen zu bildenden Schaar identisch 

 gleich Null ist. 

 Hierbei sind &*\ ¥'/' gemäss der oben bei (^3) festgesetzten Be- 

 deutung, gewisse einfache quadratische Formen der mit: 



X. (fi=i,2,...;v = o, i,2,...) 



bezeichneten homogenen linearen Functionen von x lt a; 2 , . . .x n , und 



