Kronecker: Algebraische Reduction der Schaaren quadratischer Formen. 13 



welcher nun in derselben Weise wie der oben mit (©') bezeichnete 

 Ausdruck zu behandeln ist, wenn die Voraussetzungen für das dort 

 angegebene Verfahren auch hier erfüllt sind. Es muss also die qua- 

 dratische Form 0° oder wenigstens derjenige Theil derselben, welcher 

 die Variabein der zuerst in (®°) vorhandenen, sowie der durch die 

 Operationen hinzutretenden linearen Functionen £ enthält, so be- 

 schaffen sein, dass jede dieser Variabein überhaupt darin vorkommt, 

 und zwar nur in einem einzigen Gliede, d. h. entweder mit sich selbst 

 oder mit einer einzigen anderen Variabein multiplicirt. 



Diese Voraussetzung ist erfüllt, wenn die m — 2 in dein letzten 

 Theile von (®°) vorkommenden linearen Functionen ß w _ 9 nur Varia- 

 bein £ von reducirten Schaaren : ' 



u,, 



2 («£--« + «&)£.+. 



enthält, und wenn \x nicht kleiner als m ist. Denn die oben aus- 

 einandergesetzte Methode führt alsdann behufs Wegschaffung eines 

 Gliedes : 



zu der Substitution: 



und hierbei tritt dem linearen Factor ß„,_/ +l das Glied — c^_, hinzu. 

 Ebenso bringt das weitere Verfahren nach jener Methode an Stelle 

 des Gliedes — <?£„_, in ß„,_j + , das Glied c^_ 2 in ß m _j +2 hinzu u. s. f. 

 und es scldiesst, wenn iu>Z ist, mit der Wegschaffung von ^ tL _ l+1 

 aus ß OT _, vollständig ab. Die Ungleichheit y, > / ist aber, da sw — 2 7 

 ist, eine Folge der obigen Annahme, dass tx nicht kleiner als m sei. 

 Genau nach der hier auseinandergesetzten Methode habe ich die 

 im art. III unter No. 1,2,3 angegebenen Substitutionen erlangt und 

 gemäss den dazu erforderlichen Voraussetzungen die vorbereitenden 

 Entwicklungen im art. II ausgeführt. 



V. 



Nach dem am Schlüsse des art. III entwickelten Resultat lässt 

 sich jede beliebige Schaar quadratischer Formen: 



^{?/a a . + vb ik ) XiX,. (i,k=i.i....u) 



1 Vergl. art. II (ft). 



