Kronecker: Algebraische Reduction der Schaaren quadratischer Formen. 11 



Variabein i;' beseitigen. Nimmt man nämlich an. dass dieser letzte 

 Theil schon bis auf die nur bis zu g = /</;/ erstreckte Summe: 



9 = 1 

 g i 



reducirt sei, so kann jedes einzelne der Glieder von £,: 



dadurch weggeschafft werden, dass man erst, je nachdem in 0' das 

 Glied: 



KK oder KK ( p^ 



vorkommt, an Stelle von r^J oder r^ eine neue Variable j£' oder xj,' 

 mittels einer der Substitutionen: 



(2R) 20^' = Mlp+llp&n+l ° der K = K + llp$m+l 



einführt und dann an Stelle von g/_, eine neue Variable r,/L,, welche 

 gleich der gesammten mit >n\ lll+! multiplicirten linearen Function der 

 Variabein r, und £.' zu nehmen ist. Vermöge der Substitution (5Ji) fallt 

 nämlich offenbar das Glied fc'C^J^ weg, und da der Voraussetzuno- nach 

 die quadratische Yorm Q' die von der Substitution afficirten Varia- 

 beln x,' p oder x^ nur in dem einen Glicde enthält, so erleidet sie keine 

 Veränderung als die, dass darin die Variable r^ oder r^ durch x,", 

 oder r/' ersetzt wird. Aber der linearen Function ßj tritt bei der 

 ersteren der beiden Substitutionen (Wl) ein Glied (X m+l hinzu, und bei 

 beiden Substitutionen treten der quadratischen Form Q° Glieder hinzu, 

 welche den Factor r, m+/ haben. Alle diese Glieder werden jedoch 

 durch die Einführung der Variabein r./L, an Stelle von rj_, wieder 

 beseitigt, und es tritt nur. wenn das Glied vxj._ t 5„ )+ ;_ I in dem ersten 

 Theile von (©'), um dessen Form zu erhalten, durch vf^ f _ x £„,+*_, er- 

 setzt wird, den mit ß°_, , ß/_, bezeichneten linearen Functionen der Aus- 

 druck xj_ l — y_ x hinzu, welcher eine lineare Function von % m + i und 

 den in 0° vorkommenden Variabein r/ ist. 



Nachdem auf die angegebene Weise die sämmtlichen Glieder 

 von ß/, welche die Variabein r/ enthalten, beseitigt sind, können 

 mittels genau desselben Verfahrens die etwa darin vorkommenden 

 Glieder : 



Uhlm + h (A = i,2,...m) 



weggeschafft werden, 1 indem zuerst an Stelle der im ersten Theile 

 von (©') mit cx, m+h multiplicirten Variabein X-i eine neue Variable £/" 



mittels der Substitution: • ' 



// / . 



y> — y,. + iihX,m+h 



1 Dabei ist k>l anzunehmen, da für h < / das Glied dem Theile t'/, r,„ + / hin- 

 zugefügt werden kann. 



