10 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom S.Januar. 



in welchem 0° und 0' quadratische Formen der n Variabein: 



i2wi+l > 62;» + 2 5 • • • (52m + n 



und Ö° , ß' homogene lineare Functionen derselben n Variabein und 

 der m Variabein: 



Jm + l 5 Jm + 2* • • • 62W 



bedeuten. Dabei sollen die Functionen 2° aus der Gesammtheit der 

 mit 5, n+r/ multiplicirten linearen Functionen so ausgesondert sein, dass 

 sie nur Variable r.' enthalten, welche ausschliesslich in der quadra- 

 tischen Form 0° vorkommen. 1 Alsdann können die linearen Functio- 

 nen %' g nur die Variabein r, m+I , r„„ +2 r ••• X?», una solche Variabein r/ 

 enthalten, die in 0' vorkommen. Denn wenn eine in ß' enthaltene 

 Variable r/, z. B. 5', nicht in 0' vorkäme, so würde zwischen den 

 Ableitungen von (©') die lineare homogene Relation bestehen: 



3s; ä ( ' - 3s;3s.; +1 - 



deren Coefficienten in Beziehung auf 11 und ?*, im Widerspruch mit 

 der im art. I gemachten Voraussetzung, nur von der Dimension 

 m — 1 wären. 



Die homogenen linearen Functionen von i;._,,„ +I . & 2m+2 , . . . £, w , + „, 

 welche mit: 



K 21)1+1 > K Dil + 2 ■ * • • \2)l) + 11 



bezeichnet worden sind, können als so gewählt vorausgesetzt werden, 

 dass die quadratische Form 0' jede dieser Variabein r/ nur entweder 

 mit sich selbst oder mit einer einzigen andern Variabein r/ multi- 

 plicirt enthält." Alsdann lässt sich, wie jetzt gezeigt werden soll, 

 der letzte Tlieil des Ausdrucks (©') durch lineare Transformation der 



1 In der hier bezeichneten Aussonderung der Functionen S° besteht die einzige 

 sachliche Verbesserung jener Entwicklungen im art. IV meines citirten Aufsatzes 

 vom Februar 1874. Diese Aussonderung findet sich dort nicht; sie wird aber durch 

 die weiterhin angegebene Voraussetzung über die Wahl der quadratischen Form O' 

 nothwendig bedingt, sobald die Determinante der Schaar uQ" + v£i' identisch gleich 

 Null ist. Denn in diesem Falle trifft die a. a. 0. aufgestellte Behauptung, dass sich 

 das Vorkommen von Functionen ß° vermeiden lasse, nicht zu. wenn zugleich die zur 

 Anwendung der Transformationsmethode erforderliche Eigenschaft der quadratischen 

 Form £}' festzuhalten ist. 



2 Man erlangt eine solche quadratische Form D' stets, wenn man nach einer 

 ganz beliebigen Transformation der ursprünglichen Variabein £ 2 »»+i- &!m+2> ••• tym+n 

 diejenige anwendet, welche ich als »jACOBi'sche Transformation« bezeichnet und im 

 §. 1 meiner im Monatsbericht vom April 1874 veröffentlichten Abhandlung »Über die 

 congruenten Transformationen der bilinearen Formen« genau auseinandergesetzt habe. 

 Man kann auch speciell die Variabein r ' so wählen, dass 0' gleich einem Aggregat 

 von Quadraten derselben wird, und die Möglichkeit einer solchen speziellen Wahl 

 ist schon oben in der Anmerkung zu art. II kurz dargelegt. 



