Schottky: Erweiterung des Rotationsproblems. 231 



die für einen willkürlichen Werth von a gilt. 



Die vier Werthepaare, wofür <p{a) verschwindet, geben homogene 

 Gleichungen zwischen den Grössen q ajl . — Man sieht hier, dass alle 

 Beziehungen zwischen diesen Grössen algebraische sind; dass dem- 

 nach u und v Integralfun ctionen dieses algebraischen Gebildes sind, 

 deren vollständige Differentiale durch die Gleichungen 2. definirt 

 werden. 



IV. Geht man jetzt zu dem andern System: 



dx x = q l2 x 2 du 34 + . . . etc. 



über und betrachtet zunächst w allein als Veränderliche, so sind auch 

 die q ai Constanten, und man hat ein System linearer Gleichungen mit 

 constanten Coefficienten : 



^-q l2 x 2 + q l3 x 3 + q 14 x 4 , etc. 



Das allgemeine Integral hat demnach folgende Form: 



*.'=£.*- + &**' + etc., 

 wo x, x , k", y!" die Wurzeln der Gleichung vierten Grades sind : 



o, 



oder 



o = x 4 -x 2 {q\ 2 + <f n + . . . + qD + {q n q H + q 3l ? 24 + q l2 q 34 ) 2 . 



Diese Wurzeln sind reell und paarweise entgegengesetzt; sie sind 

 ausserdem nicht nur von w, sondern auch von u und v unabhängig. 

 Die letztere Bemerkung hat schon Hr. Frahm gemacht und sie bildet 

 sogar den Hauptpunkt in der vorhin erwähnten Arbeit. 



Ausserdem sind die Verhältnisse von £, , £ 2 , £ 3 , £ 4 bestimmt durch 

 die vier linearen Gleichungen: 



'*£, = 9.2 £2 + 9.3 £ 3 + ?'4 ^4' etC -' 



so dass zur vollständigen Bestimmung dieser particulären Integrale 

 nur noch Quadraturen gehören. Ferner ist zu bemerken, dass, wenn 

 man diese imaginären particulären Integrale, die den vier Wurzeln 



