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Die LEGENDRE'sche Relation. 



Von L. Kronecker. 



Die bilineare Gleichung, welche zwischen den vollständigen ellipti- 

 schen Integralen erster und zweiter Gattung mit beliebigem Modul und 

 denjenigen mit complementärem Modul besteht, wird von Legendre 

 im Cap. XII p. 60 des 1825 erschienenen ersten Bandes seines Werkes 

 Traue des fonctions elliptiques zuvörderst auf Grund zweier im Cap. XI 

 p. 59 entwickelten Gleichungen für die besonderen Moduln \}J 1 ±. j/3 

 hergeleitet und erst dann in höchst einfacher Weise auf den Fall 

 beliebiger Moduln ausgedehnt, indem gezeigt wird, dass die Diffe- 

 rentiation von: 



FE '+ FE -FF 



nach einem der Moduln als Resultat Null ergiebt. Hieraus folgt näm- 

 lich offenbar, dass der angegebene Ausdruck, in welchem F,E die 

 vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung für 

 den einen Modul und F', E' diejenigen für den complementären Mo- 

 dul bedeuten, für jedes Paar zu einander complementärer Moduln 

 eben denselben Werth (^-77-) hat, welcher für das specielle Paar com- 

 plementärer Moduln y |/2 ±1^3 ermittelt worden ist. 



Dabei verdient hervorgehoben zu werden, dass schon in dem 

 art. XVII, welcher den Schluss der zweiten Abhandlung Legendre's 

 »über die Integrationen durch Ellipsenbögen« bildet, 1 die Anfänge 

 der Entwickelungen erkennbar sind, welche im XL Capitel Nr. 43 

 seines Werkes über die elliptischen Functionen auf die Relation: 



FE'+F'E-FF'= |tt 



für das Modulpaar — 1/2 +. 1/3 führen. Ich möchte deshalb glauben, 

 dass Legendre schon bald nachher, also etwa vor einem Jahrhundert, 

 die Relation gefunden hat. Eine Angabe über den Zeitpunkt der 

 Auffindung hat Legendre weder an der citirten Stelle seines Traite 



1 Second Memoire sur les integrations par arcs d'ellipse et sur la comparai- 

 son de ces arcs. Par M. Le Gendre. Histoire de l'Academie Royale des Sciences. 

 Annee 1786 p. 679 — 683. 



