Kronecker: Die LEGENDRE'sche Relation. 327 



$'"(o — 



^ v l V r / 



i - 242 ^ — r* — h~ i (»,n= 1,2,3,...), 



und hieraus folgt mit Hülfe der Gleichungen (i) und (2) das Resultat: 



&"'(o,™ 



(3) 1 2 JTi? - 4(2 - y?W = ) - 



welches die Darstellung des Integrals zweiter Gattung E durch S-- Func- 

 tionen enthält. Ersetzt man nämlich darin K und xK durch ihre 

 9- -Ausdrücke: 





wobei der Einfachheit halber das zweite Argument der 9- -Functionen 

 überall weggelassen ist, so kommt: 



r 



(4) 6ir$>(o)E = 27r 2 ^(o)-7r 2 ^(o)-^fi 



«3- (o) 



oder 



3 ]/^ (o) - $* (o) sin 2 i- zir dz = 2^ (o) - $* (o) - -— ^/-. 

 .' J 7ri> (o) 



o v ' 



Nimmt man in der Gleichung (3) an Stelle des Moduls x den 

 complementären Modul x', so geht dieselbe in folgende über: 



(5) i2K , E'-4(2-x")K" = 



2x T^/2 W 



SV 



3- o, 



wo 2£ das Integral zweiter Gattung für den Modul x bedeutet; denn 

 es ist nach den oben eingeführten Bezeichnungen: 



K'i sw Kl sv 



K v K' %c 



swi 

 Wird nun die Gleichung (3) mit und die Gleichung (s) 



V 



sei 



mit multiplicirt. und alsdann die eine zu der andern addirt, so 



ic 



Sitzungsberichte 1891. 31 



