Kronecker: Die LiEGEtfDRE'sche Relation. 33 1 



und es kommt also bei der Entwickehmg von (n), wenn dieselbe bis 

 zu den Gliedern zweiter Dimension einschliesslich genommen wird : 



(X) i + 2£T((r + T?f)7r i + 4- (0-+ r«f .,; .'. 



5 z- (o , sto) 



Dieser Ausdruck, welcher sich von (31") nur um i unterscheidet, kann 

 daher an Stelle von (31") als Invariante der Aequivalenz: 



/ CLlt) Id 



(A') (o-, t, «?) co öt'cr + /3t, ötV + /3V, — - = , 



\ — a W + /& 



genommen werden, und seine Invarianteneigenschaft tritt unmittelbar 

 in Evidenz, wenn man ihn auf Grund der Gleichung (L) im §. io 

 meiner Mittheilung vom 13. März 1890 als das Aggregat der Glieder 

 bis zur zweiten Dimension einschliesslich in der Entwickehmg von: 



(12) lim lim V— — —#*-**** 



n = 00 m = 00 ** m -\- nw 



m , n 



nach steigenden Potenzen von er und r auffasst. Dabei gelten für 

 die Summation, wie a. a. 0. dargelegt ist, die Bedingungen: 



in = am' + ßn , n = a in' + ß'n' 



m' = ±i,+.2,...+.M, n' = ±_ 1 , ±. 1 , . . . ±. N, 



und für a, ß, a', ß', können irgend welche, die Gleichung aß' — aß = 1 

 befriedigende ganze Zahlen genommen werden. 



Wendet man, wie ich es in meinen Universitätsvorlesungen zu 

 thun pflege, den Begriff der Modulsysteme, welchen ich in die Algebra 

 eingeführt habe, auch in der Analysis an, so ist jene Reihe (12) als 

 »dem Ausdruck (51") congruent modidls er 3 , <r 2 r , err 2 , r 3 « zu bezeichnen. 

 Alsdann lässt sich das oben entwickelte Resultat dahin formuliren, 

 dass die Eigenschaft der Reihe: 



S_-a <J -f TW , . . 



2 — F €<»—*»" (*, n, = j, 1, Jt 2, ± 3, . . .). 



m n m + HW 



eine Invariante der Aequivalenz: 



( n / n , CLW — ß 



(o\ t, ir) cv I a<r + ior, a er + fo r, 



a'ir + ß' 

 im Sinne der Congruenz für das Modulsystem: 



(l\ (7 2 T, (7T 2 , T 3 ) 



zu sein, die LtGENDRE'sche Relation ersetzt. 



