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Die LEGENDRE'sche Relation. 



Von L. Kronecker. 



(Fortsetzung' der Mittheilung vom 2. April, XVIII. 



IV. 



I/ie bilineare Function der vollständigen elliptischen Integrale erster 

 und zweiter Gattung für zwei mit einander compleinentäre Moduln: 



12 (iT E + KE' — KJC) 



ist im art. I durch den S-- Ausdruck: 



.3"'(o,^ .S"'(o,-™ 



£Wl \ Vi EVI \ W 



"(••") 



s- 1 o, — l y|o,— 



dargestellt worden. Dieser nimmt mit Hülfe der am Schlüsse des 

 art. III erwähnten Relation: 1 



rfy(o,i.) = _ Lfy> 



£?M? 47T2 



folgende Gestalt an: 



ew? 1 



h y (»'-. ; ) 



\ dfio 



c? log S-' ( o 



V 



47T1Ü 



und die Integration führt daher zu der Gleichung: 



log&Yo , - -\ = log £'(o , — ] +!■ [(#'£ + ZZT - ZT) rf log w. 



Macht man nun zuvörderst nur von dem einen LEGENDRE'schen 

 Resultate Gebrauch, wonach der Werth des Ausdrucks K'E+KE' ' — KK' 

 vom Modul x und also auch von iü unabhängig ist, so kommt: 



/ £V\ 1 (*<£ + Äff ' - W) , / £M> 



VW V » 



1 A. a. O. ist das Zeichen loa, zu streichen. 



