Kronecker: Die Legendre'scIip Relation. 84/ 



Multiplicirt man diese Gleichung mit du und integrirt, so kommt: 



i— -— ) 



. u i \ 9- (u, 10) w 



w w 



da die Integrationsconstante sich gleich Null erweist, wenn man 

 u mit — u vertauscht. Wird nun auf Grund der Legendre'scIioh 



Relation der Ausdruck auf der rechten Seite durch — ersetzt, dann 



w 



auf beiden Seiten mit du multiplicirt und integrirt, so ergiebt sich 

 die Transformationsgleichung : 



y 10 



Ce w S- (u, w) , 

 w ' 



in welcher C die Integrationsconstante bedeutet. Bestimmt man die- 

 selbe durch den Werth u = \w, so erhält man die Formel: 



(—,-—) 4* 2 -* 2 • ., , 



io w J — m S- (u , w) 



2 W 



&(JL __M ^>.») 



welche ihrem Inhalte nach mit der Formel (5) im art. 56 der Fun- 

 damenta übereinstimmt. 



VI. 



In seinen grundlegenden , aber selten citirten , auf ganz originalen 

 Ideen beruhenden »Beiträgen zur Theorie der elliptischen Functionen«, 

 welche 1847 i m 3 5- Bande des CitELLE'schen Journals erschienen sind, 

 hat Eisenstein, wie für die Theorie der 9 -Function überhaupt, so 

 insbesondere für die lineare Transformation derselben und implicite 

 auch für die LEGENDRE'sche Relation wesentlich neue Gesichtspunkte 

 aufgestellt. 



Eisenstein geht in der sechsten seiner Reihe von Abhandlungen, 1 

 anknüpfend an die Productentwickelungen der Kreisfunctionen , von 

 dem Doppelproducte aus: 



II l r~/ä — ; — I k«=o,±i,h,±3,...), 



1 Crki.le's Journal Bd. 35, S. 153. 



