348 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 16. April. 



in welchem oc,ß,y,x complexe Variabein bedeuten. Ersetzt man 

 hierin, im Anschluss an die obigen Bezeichnungen: 



ci durch v, ß durch w, y durch vcr -\-wr, y — x durch u oder vg + wt , 



wo er ,r , <r ,r reelle Variabein sind, so nimmt das EisENSTEiisfsche 

 Doppelproduct die Gestalt an: 



(»,) lim lim "ff "ff <!!^!iii +(*■ + ">», 



und mau erhält alsdann durch Summation in Beziehung auf /// und 



Benutzung der Formel: 



m ^ x + in sin xtt 



lim — - — = 



37= co m ±±M y + m sin y-K 



das einfache Product: 



n=iV sin(«r +io(T + »))-^ 



lim n -■ 



» = «> n = -N . / x 7T 



sin (per + w (r + m) ) — 

 Der Werth desselben ist gleich: 



\v r J 



und es ergiebt sich also die Gleichung: 



(<7 + W) V + (t o + W) «0 ' \p' » 



(21*) lim lim 1 



£|«o 



=<» *=«> ffl.n (er + »0 y + (t + n) iv (u ew 



V V 

 (in =o,±I,±2,... +.üf; w =0, +_ I, +. 2, . . . +_ N) 



Eisenstein untersucht nun a. a. 0. die Werthänderung, welche das 

 Doppelproduct (21) erfahrt, wenn man darin 



<r', t', g- ', f' Q9 v', w' 



für (7, T, <r , T , ü, M3 



substituirt, wobei er', r', cr^, t^, ?/, «?' durch die Gleichungen: 



<r' = öde + /3r + 7 , <j' q = acr + /3r + 7 , v' = ß'v — u'w 

 t' = *'(r + ß , T + y' t t' q = ötV + /3 / r o +7 / , w= r--ßv + ctw 



definirt sind, und u, u', ß , ß' , 7, 7' irgend welche der Bedingung 

 a,ß'—a,'ß = i genügende ganze Zahlen bedeuten. 



Diese Untersuchung gliedert sich in zwei deutlich unterschiedene 

 Theile. Der erste enthält den Nachweis, dass die Differenz, welche 



