Kronecker: Die LsGENDRE'sche Relation. 349 



verbleibt, wenn von dem Logarithmus des Doppelproducts (21), d.h. 

 also von der Doppelsumme: 



(23) hm hm Vlogl 1 — ) - — 



n=co m=co jjjj y (er + m) + (r + rcjw y 



die zweifach unendliche Reihe: 



(>4) -lim lim j ■£ <?- °'' + 1 T ^ + ~ ( T f> + < r -=l>Y 1 

 iv= oo jr =00 | ^ (o- + m) v + (t + n) w 2 \ (<r + 7/i) + (r + w) w J \ 



(—M<m<M, —N<n<N) 



subtrahirt wird, bei der angegebenen Substitution ihren Werth behält, 

 und im zweiten Theile wird alsdann die durch die Substitution bewirkte 

 Werthänderung eben dieser Reihe (24) ermittelt. Dabei bleiben Glieder 

 der Reihe, in endlicher Anzahl, ausser Betracht; der übrige Theil 

 der Reihe tritt bei der Entwicklung der nach Potenzen von: 



{<t — <t )v + (t — t )w 



{<r-\-m)v -\- (r-\-n)w 



entwickelbaren Logarithmen der Doppelsumme (23) auf und bildet 

 darin das Aggregat der ersten beiden Glieder. 

 Bedeutet En (u , u , v , w) eine Function von 



T , 



u = vc -\- un ) ' 



deren Logarithmus jene Differenz der beiden Doppelsummen (23) und (24) 

 ist, welche sich nach der EiSENSTEiN'schen Abhandlung als eine In- 

 variante der Aequivalenz: 



K > T o , o" , r , « , w) cv (<r' , r' , <r', r', v', w') 



in der oben bei (22) angegebenen Bedeutung von <j' , r ', <t\ t', v' , w' er- 

 weist, so ist auch die Function En (u , u , v , w) selbst eine solche und 

 soll deshalb als »Eisenstein' sehe Invariante« bezeichnet werden. 

 Die Eisenstein \sche Invariante hängt nicht von ihren vier Ar- 

 gumenten selbst, sondern nur von deren Verhältnissen ab; ihre Be- 

 ziehung zu dem 9-- Quotienten in (21*) wird, wenn man zur Abkürzung : 



lim lim V = f. (u, v, w) 



x=co m =00 <f* u + mv + nw J 1 m< <m\ 



lim lim >;- =fJu,v,w) 



»= 00 jr =00 ^ (u + mv + nwf J ~ K 



setzt, durch folgende Gleichung ausgedrückt: 

 (25) e En(u ,u,v,w) = 



j—M<m<M\ 

 \_JV T < ra; ZVJ 



^("\ — 1 



\ V V, J 



