356 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 16. April. 



aus welcher dann, wenn man in den Substitutionsgleicliungen : 



V f — ß'ü — OC'W , IJt)' = — ßv -\- dW (a.ß' — a'ß=\) 



ot,=z o, ß = — i, oc' = i, ß'=o annimmt, die speciellere Relation: 



i _ . i ) 2E7ri 



(41) lim lim {V; . r^ — S, 



jv= oo m = co ) ^ (mw 4- n vf ^ (mv + nw? \ vw 



\ m, n v ' m, n x • / 



(»i=±i,±2,...±I; n= +i,±2, ... + A 1 ) 



hervorgeht. Diese speciellere Relation (41) zeigt sich als vollkommen 

 identisch mit der LEGENDRE'schen Relation in der obigen Gestalt (6): 



V w i \ v j 



v 7 { w ; f = 6evw7ri 



V 



<•-?) 



wenn darin für den Quotienten -^y- die Werthe aus der Gleichung (36) 



eingesetzt werden. 1 



Die allgemeinere Relation (40) entsteht einfach aus der zweiten 

 der oben mit (31) bezeichneten Gleichungen, indem darin 7' = o , also 

 u' = u und dann u = o gesetzt wird , und diese Gleichung ist es, 

 auf welcher in der EiSENSTEiN'schen Entwickelung die lineare Trans- 

 formation der 3- -Function beruht. Dies tritt besonders deutlich in 

 der oben mit (38) bezeichneten Gleichung hervor. Denn da der 

 Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichung ungeändert bleibt, 

 wenn die Grössen v , w durch v',w' ersetzt werden, so ergiebt sich 

 zuvörderst bei Anwendung der ihrem Inhalte nach mit der Relation (40) 

 gleichbedeutenden Formel : 



(40*) 



*i*T) K^i) 



ösoiV« 



1o ,r!L) Mo,"* 



ganz unmittelbar das Resultat: 



/ > 



v'$lX~\ «*' 



2 ia.ni 



S-' o,— r| 3' o, 



VI \ V 



1 Eine andere Art der Ableitung der LEGENDRE'schen Relation aus den Eisenstein- 

 schen Entwicklungen findet sich auf S. 27 — 29 der Inauguraldissertation des Hrn. 

 Adolf Hurwitz. (Leipzig 1881), 



