Kronecker: Die Legendre'scIic Relation. o57 



in genauer Übereinstimmung mit der obigen Gleichung (33). Ferner 

 entstellt aus derselben Formel (40*) durch »exponentielle Integration« 

 — wie Eisenstein treffend die der logarithmischen Differentiation ent- 

 gegengesetzte Operation bezeichnet 1 — die Transformationsgleichung: 



(42* -T-r=7^ °»— 7-1 = ~ T^ 9 " |°> 



^ ' v'Vv' \ v ) v]/v \ v ) 



wo C die Integrationsconstante bedeutet. Der Werth derselben erweist 

 sich sowohl für den Fall: 



# — i ? ß = — 1. &'=o, ß'=i 

 bei beliebigen Grössen v , w , als auch für den Fall : 



Ct = 0, ß = — I, 06 r = I , /3'=0, 



wenn dabei 2ü = ew> genommen wird, als eine achte Wurzel der Einheit, 

 und da sich aus lauter Substitutionen der beiden angegebenen Arten 

 jede Substitution: 



v'=ß'v — ct'w, w'= — fiv-\-aw 



zusammensetzen lässt , so ist der Werth von C stets e 4 , und die 

 ganze Zahl h bestimmt sich durch die Zahlen ot, ß, a, ß'. 



Mit Hülfe der Gleichung (42) und der angegebenen Bestimmung 

 von C geht die Transformationsgleichung (42) in folgende über: 



(43) v<'*(v •?) = &*{ 



und da andererseits die obige Formel (40*) oder die damit gleich- 

 bedeutende Relation (40) durch Differentiation aus der Transformations- 

 gleichung (43) hervorgeht, so erweisen sich diese beiden Gleichungen 

 als vollständig aequivalent. Es zeigen also auch die EisENSTEiN'schen 

 Entwickelungen , und zwar mit besonderer Deutlichkeit , die inhaltliche 

 Übereinstimmung der LEGENDRE'schen Relation mit derjenigen, welche 

 zwischen linear transformirten 9-- Functionen besteht. 



Es verdient wohl noch hervorgehoben zu werden, dass sich gemäss 

 der Bemerkung am Schlüsse des art. IV für die dort angenommenen 

 besonderen Werth e : 



iie'i 



Bio = ve 3 , ew = vi 

 aus der Gleichung (36) die beiden Formeln: 



1 Crelle's Journal, Bd. 35, S. 226. 



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