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Die LEGENDRE'sche Relation. 



Von L. Kronecker. 



(Fortsetzung der Mittheilung vom 2. April, XVIII, XX.) 



VIII. 



Uie wahre Natur und Bedeutung der EiSENSTEiN'schen, oben im 

 art. VI mit f^u, v, w) bezeichneten Doppelsumme ^,(?< + ?//ü+ nw)~\ 



welche aus der logarithmischen Differentiation des EiSENSTEiN'schen 

 Doppelproductes entsteht und die logarithmische Ableitung der ^-Func- 

 tion darstellt, wird erst durch die in gewissem Sinne allgemeinere 

 Doppelreihe Ser (u , u, v , iu) vollständig aufgeklärt. Ich werde dies 

 in einer weiteren Mittheilung zur Theorie der elliptischen Functionen 

 ausführlich darlegen und hier nur so weit darauf eingehen, als es für 

 die LEGENDKE'sche Relation von Wichtigkeit ist. 



Die Doppelreihe Ser(« , u, v, w) ist durch die Gleichung definirt: 



(wer — ,nT ) 27TJ 



(44) Ser(w„, u, v, iv) = lim lim 'V - — — — ; — — : r— , 



v ^' v °' ' ' ' iv=co jh=oo^((T + 7» ü + (r-\-n)w 



m,n v ' v ' 



(u Q = v<r Q -f- M't q ; u = vir + wv\ 



wobei die Summation auf alle ganzzahligen Werthe von m, n zu er- 

 strecken ist, welche den Ungleichheitsbedingungen genügen: 



| am + ßn | < M , \ a'm + ß'n | < N, 



vorausgesetzt, dass et , ß , a,' , ß' ganze Zahlen sind, für die aß' — &' ß = \ 

 ist. Der Werth der Reihe Ser(w , u, v,w) wird durch die Function 

 Atr (em , u, v, ew) dargestellt, welche folgendermaassen definirt ist: 



eu + u ew y 



I \ V I \ V V 



(45) Atr (ew , u, v,ew) = — e 



'-*[-> 7) 



^/eWo ew\ / 



U £lo\ 



V ' V J 



oder: 



/ «77/ ^ (<rr —o- n i)em Atr' (o, v.ew) Atr (eu -\- u.v, ew) 



(45*) Atr (eu , u, V, sw) = * ° ° > -l-L-2 — \ °/ ' } , 



Atr (eu ,v,ew) Atr (u,v, ew) 



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