Kronecker: Die LEGENDRE'sche Relation. 451 



Dieser letztere Ausdruck kann in folgender Weise dargestellt werden: 



y(27r) 3 I Sm o , — ) Atr (u , v , ew) , 



und hierbei haben die beiden Theile, nämlich die Function Atr (u,v, ew) 

 und der Factor, mit welchem sie multrplicirt ist, für sich die Eigen- 

 schaft, dass ihre 1 2 te Potenz invariant ist. 



Der Ausdruck (49), welcher, wenn darin ve + wr für u substituirt 

 wird, die Form annimmt: 



_ / w ew\ 



r9- cr + r-, — 



hat genau dieselbe Invarianten -Eigenschaft wie jene im art. VI mit 



/ W £W\ 1,1 ^1 



En Icr-f-T — , — ) bezeichnete Function, welche sich a. a. ü. aus der 



EisENSTEiN'schen Invariante als ein Grenzwertli derselben ergeben hat. 

 Es zeigt sich also, dass für den Zweck, den S-- Ausdruck: 



\v v J 



invariant zu machen, an Stelle des oben im art. VI angewendeten 

 Factors mit dem Exponenten: 





ew \ 



V ) 



6v 2 , f sw 



der wesentlich einfachere Exponentialfactor 



/ 1 w \ 



e 



w 



genügt, welcher das zweite Argument der S-- Function, nämlich 



v 



im Exponenten nur linear enthält, während jener Exponent eine trans- 

 cendente Function eben dieses Argumentes ist. Aber freilich bedurfte 

 es, um den einfacheren Factor zu erlangen, der Zerlegung des ersten 

 S-- Arguments u in seine Elemente v&, wr, welche sieh überhaupt als 

 naturgemäss erwiesen und namentlich den weiteren Fortschritt von 

 den EisENSTEiN'schen Doppelsummen zu der mit Ser {n n . // , r . ir) l>e- 

 zeichneten und deren Abgeleiteten ermöglicht hat. 



