454 Gesammtsitzung vom 14. Mai. 



in der Reihe (54) nur eine Vertauschung der verschiedenen Glieder mit 

 einander bewirkt wird, so ist der Werth dieser Reihe invariant. 

 Eben dieselbe Eigenschaft habe ich für die Werthe der beiden Reihen 

 Sei* (u, u ,v, w), Ser, (u,u ,v,w) im art. XXI meiner Mittheilungen zur 

 Theorie der elliptischen Functionen nachgewiesen. Hiernach ist der 

 Gesammtwerth der drei Reihen (52), (53), (54), d. h. also der mit 

 log atr (m,u' ,u ,v,ew) bezeichnete Werth der Reihe (51) eine Invariante 

 der ganzen Classe von Grössensystemen : 



/öt(T+^T+7, <34(7 + /3t , Ct<j' + ßr' , ß'v — Cb'w 



(S) laV+ßV+Y', *V +/3V , «<j' + ßV , -ßv + oL Wj 



welche durch die verschiedene Wahl der Zahlen cc, ß, &' , ß' mit der 

 Bedingung aß' — a! ß = 1 entstehen; die Function atr (su , u , u , 'v , ew) 

 selbst ist daher ebenfalls für alle Grössensysteme (S) atrop. 



Setzt man u = o, so reducirt sich die Function atr(e«, n' , u , v, w) 

 auf das Product: 



{<i' o + m)v + (r' -\-n)w 

 iV~i m='co ij (o- + m) v + (r + n) w 



und es ist also gemäss der Gleichung (21*) im art. VI: 



n=oo M=o tt(<r„-\-9n)v-\-(T-4-n)w \» = o, ±i, +.2,. .. ±N) 



(55) atr{o,u ,u ,v,ew) = 



ll BIO 



V ' V 



Multiplicirt man diese Gleichung mit u und setzt dann u =0, so 

 kommt, wenn noch der Einfachheit halbere für u' genommen wird: 



_ ( u ew\ 



H-> -) 



\v v ! 

 (56) lim u atr(o ,u,u Q ,v, sw) = 



M„=0 



"(•.=}' 



und es zeigt sich hierbei deutlich, in welcher Weise die Function 

 titv(su, u' Q , u , v,ew) eine Verallgemeinerung der S--Function enthält. 

 Den Differentialquotienten : 



3 log atr (su , u' , u , v , sw) 



kann man bilden, indem man die beiden Ausdrücke (52), (53) und 

 dann die Reihe (54) gliedweise nach u' differentiirt. Man erhält auf 

 diese Weise das Resultat: 



9logatr(ew, <, u e ,v, sw) — , 



(57) - ~ , — = JSer(w, u , d, w) = Atr(£//, u oi v. sw) 



