Kronecker: Die LEGENDRE'sche Relation. 45/ 



setzt, jene einfache Invariante: 



w eio 



V V 



."■ 



V 



('+*?)■ 



welche oben bei (49) angegeben worden ist und mit den bei (46) 

 und (46*) definirten Invarianten Atr (u,v,ew), Atr' (o, u, ew) in der 

 einfachen Beziehung steht: 



_ / iü ew\ 



§\0-+T—, / w\ 



\ v v I \ a + r -j rim Atr (u,v,ew) 



11 m -^ i— C\ ' 



'(•.?) 



Atr'(o ,v,sw) 



Wie umfassend die Eigenschaften der Invariante atr {eu, u' , u , v, eiv) 

 sind, zeigt sich unter Anderem auch darin, dass aus der Entwickelung 

 ihres Logarithmus nach steigenden Potenzen von ö", r, g* , t , <t' q , t' 

 unmittelbar die LEGENDRE'sche Relation hervorgeht. Das Aggregat der 

 Glieder einer und derselben Dimension in der Entwickelung von 

 log atr(sw, u' , u , v, ew) ist nämlich offenbar für sich invariant, und es 

 ist das Aggregat der Glieder zweiter Dimension, dessen Atropie 

 die LEGENDRE'sche Relation ergiebt. Dieses Aggregat wird mittels der 

 Gleichung (59) erhalten, wenn man sich in der Entwickelung des 

 auf der rechten Seite stehenden Ausdrucks auf die beiden ersten Glieder 

 beschränkt, da die übrigen keinen Beitrag dazu liefern. Es ist also 

 nur das Aggregat der Glieder zweiter Dimension in der Entwickelung 

 des folgenden Ausdrucks zu bilden: 



, 7 x TT/ \ , 1/ ' v 3Atr(£M, u ,v,sw) 



(u — u ) Atr [eu, u , v, ew) + - (u — u )~ * . 



öu 



Dasselbe ist für den ersten Theil dieses Ausdrucks schon aus der 

 Einleitung zu entnehmen, da dort bei (?l) das Aggregat der Glieder 

 erster Dimension für Atr(ez^ , u, v, ew) angegeben ist. Dieses ist nämlich: 



ew\ 



ü=l + J — £-°7 



UV 1>V -./ ew 



£0, 



V 



Genau denselben Ausdruck findet man aber als das Aggregat der 

 Glieder nullter Dimension von: 



3 Atr (su, u , v, ew) 



9m„ 



