Kronecker: Die LEGEXDRE'sche Relation. 461 



tionen in einfacher Weise und namentlich im letzten Paragraphen (§ i o) 

 mittels weniger übersichtlicher Schlussfolgerungen dargethan worden, 

 aber weder in der Form der Reihe noch in der Darstellung durch 

 S-- Functionen: 



■ r* / / eW \ rN f SU + U o £ W 



2T «o™ 9-o, — IS- 



rutm 



i - — \ V ) \ V V 



v ' $/iü ew \$( u ° — 



\ V ' V J \ V ' V 



tritt die Atropie der Function Atv(eu, n , v, sw) geradezu in Evidenz. 

 Dies ist freilich bei jener schon oben im art. VIII (45*) erwähnten 

 Darstellung durch die Invarianten Atr(w, v, sw) der Fall, gemäss welcher 

 Atv(su,u ,v, sw) durch den Ausdruck: 



(o- oT — a j o ) 671» Atr^o, v, sw) Atr {su + u , v, sw) 

 Air (eu, v, sw) Atr(u , v, sie) 



dargestellt wird, jedoch nur insofern dabei die Atropie der Function 

 Atr (u, v, sie) vorausgesetzt wird; diese beruht aber wegen der Gleichung: 



1 



— (,,,( eM>\\~ T_ (u sw\ T - 

 Atv(u,v,eiü) = (27ry |&'(o,— JJ $l-, — \ e 



auf eben jener mit der LEGENDKE'schen aequivalenten Relation, welche 

 zwischen linear transformirten 9- -Functionen besteht. 



Dem hier hervorgehobenen Mangel wird durch jene Darstellung 

 des absoluten Werthes von S-'(o) abgeholfen, welche ich schon im 

 art. III meiner Mittheilungen »zur Theorie der elliptischen Functionen« 

 angegeben habe. 1 Setzt man, wie dort: 



(ö8) w l = , iü 2 = , a = - , 



2C 2C 4C 



wo a ,b ,c reelle Grössen bedeuten, so sind w l i i w 2 i conjugirte com- 

 plexe Grössen, und das Product S-'(o, w x ) S-'(o, ic 2 ) ist also gleich dem 

 absoluten Werthe jedes der beiden Factoren. Setzt man nun noch, 

 wie a. a. 0. zur Abkürzung: 



(68*) a m 2 + b a mtn + c n 2 = f{m, n) , 



so besteht die Gleichung: 



(69) &'(o, w.) 9-'(o, w 2 ) = 4^ 2 (|/Ö 3 2(-i) ( " i - ,)( ' l - ,, /(^ J n) c—" m > n) , 



m , 11 



in welcher die Summation rechts auf alle positiven und negativen 

 ganzzahligen Werthe von m, n auszudehnen ist. Erhebt man auf 



1 Sitzungsbericht vom 19. April 1883. XX. 

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