Kronecker: Die LEGENDRE'sche Relation. 463 



Denn wenn man eine Gleichung: 



| cp (x 4- yi) | = i oder cp (x + yi) <f> {x — yi) = i 

 das eine Mal nach x , das andere Mal nach y logarithmisch differentiirt, 

 so zeigt sich unmittelbar, dass <p{x-\-yi) constant und also, absolut 

 genommen, gleich Eins sein muss. Dass endlich durch logarithmische 

 Differentiation der Gleichung (72) die LECrENDRE'sche Relation in der 

 Form : 



er (o,M?) I \ «0, 



73 w -^r, r 7 \ = — 6m 



S- (o,?c) w v / j_ x 



.y w 



entsteht, ist schon oben im art. IV bemerkt worden. 



Es erscheint aber von grösserem Interesse, dass die Gleichung 

 (73) sich in ähnlicher Weise wie die Gleichung (72), aus welcher sie 

 liier durch logarithmische Differentiation hergeleitet worden ist, auf 

 directem Wege ergiebt, wenn man die Differentiation an der Gleichung 

 (70) ausführt. 



Um dies näher darzulegen, gehe ich von der Gleichung aus: 



= \Yc~\ ^ (— i)^" (— ^ ^"~ l ^ e~ 7t ^ m, n) + 2 ^ mcr + " T ) "* 



m,n 



aus welcher in dem oben erwähnten art. III meiner Mittheilungen zur 

 Theorie der elliptischen Functionen jene Gleichung (69) hervorgegangen 

 ist. Setzt man c = t = o, so kommt: 



(74) ^(-.^(»-iH—U e — /<«».»)= Kn = o,ii,d,2,...), 



und diese Gleichung ist nun ebenso wie die obige Gleichung (70) 

 nach w l und w 2 zu differentiiren. Ich stelle hierfür zuvörderst einige 

 dazu nothwendige Relationen zusammen: 



f(m, n) = r (n — ?mt\) (n + mw 2 ) , 

 9/(m,w) e/ 2 3/(w,w) */ 2 



w. 



(« — ?/hü,) 2 ' 8zü 2 (w + »mo 2 ) 2 



, , ^ • <H d 2 f 3 



dir, dir, dw, 



d 2 f(m,n) n „, . df(m.n)df(m,)t) ■ „ , 



diüjd^ ow l ow 2 



Mit Hülfe derselben erhält man als Resultat der Differentiation von (74) 

 nach u\ und w 2 die Gleichung: 



(75) -*%{— if*-'^»-" f 2 {m,n)e- nf{m ' n) = 2^{—i) { " l - t)ln - 1) f(m,n)e-" /lm ' n) 



