Über den Charakter der Integrale von Differential- 
gleichungen zwischen complexen Variabeln. 
Von L. Fucas. 
As Jacosı die für ein elliptisches Integral erster Gattung gelungene 
Umkehrung auf die hyperelliptischen Integrale auszudehnen suchte, 
erkannte er, dass dieses Problem nicht ausführbar sei, indem er 
nachwies,' dass die obere Grenze eines hyperelliptischen Integrals 
erster Gattung insofern nicht als analytische Function des Integral- 
werthes aufgefasst werden kann, als jedem Werthe der letzteren 
Grösse jeder Werth der ersteren entspricht, und umgekehrt. — Erst 
durch Einführung mehrerer Systeme von Integralen erster Gattung, 
mit von einander unabhängigen oberen Grenzen, gelangte er zu einer 
Gattung von Funetionen mehrerer Variabeln,” welche eine vollständige 
Analogie mit den elliptischen Functionen darbieten. 
Ist R(x) eine ganze rationale Function höheren als vierten Grades, 
so lässt sich das Jacogr'sche Resultat auch dahin aussprechen, dass 
die Integrale x der Differentialgleichung 
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nicht als analytische Functionen von u aufgefasst werden können. 
Es ist selbstverständlich, dass alle Differentialgleichungen, welche 
aus (&) durch analytische Transformationen hervorgehen, die gleiche 
Eigenschaft besitzen. 
Es ist aber ein für die Grundlagen der Theorie der Differential- 
gleiehungen wesentlicher Umstand, dass es auch unter den Differential- 
gleichungen jeder Ordnung und jeden Grades, welche nicht nur Trans- 
formationen von (&) sind, Classen solcher Art giebt, welche zwischen 
der unabhängigen und abhängigen Veränderlichen keine functionale 
Beziehung im gewöhnlichen Sinne des Wortes festsetzen, so lange 
jene Veränderlichen eomplexe Werthe annehmen dürfen. Wir er- 
! Crerre’s Journal Bd. 5 .55 ff. 
® Crerre’s Journal Bd. 9 S. 394 ff. 
