Foc#s: Über Differentialgleichungen. 17 
Wenn die Differentialgleichung (ı) in Bezug auf ihre 
Argumente algebraisch ist und die Eigenschaft besitzt, dass 
die Verzweigungspunkte der Integrale derselben sich nicht 
mit den Anfangswerthen stetig verschieben, sei es, dass 
man y als Function von 2, sei es, dass man z als Function 
di 
von y betrachtet, so ist die algebraische Function — von Y 
az 
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ebenso wie die algebraische Function 7 ‚on 2 vom Range 
Null oder Eins. 
Man kann nun nach den Prineipien meiner oben eitirten Arbeit 
Nr. 6 bis 7 zeigen, dass alsdann das Integral y der Gleichung (2) eine 
analytische Funetion von z darstellt. 
4. 
Von den Differentialgleichungen erster Ordnung, deren Integrale 
mit den Anfangswerthen stetig verschiebbare Verzweigunspunkte be- 
sitzen, hat man nun zunächst diejenigen auszuscheiden, welche durch 
eine algebraische Transformation in eine Differentialgleichung über- 
geführt werden können, deren Integrale nur feste Verzweigungs- 
punkte haben. Denn so wie es einleuchtend ist, dass man Differential- 
gleichungen der letzteren Art durch eine willkürliche algebraische 
Transformation in solche der ersteren Art umwandeln kann, so er- 
giebt sich auch, dass, wenn eine Differentialgleichung der ersteren Art 
in eine solche der letzteren Art algebraisch umgeformt werden kann, 
dieselbe nicht zu wesentlich anderen Transscendenten führt, wie die 
Differentialgleichungen mit festen Verzweigungspunkten. 
Für die Differentialgleichungen dagegen, für welche der Rang 
a \ Sal 
der durch dieselben definirten Funetion 2 
oder als Function von 2 die Einheit übersteigt, und welche nicht 
algebraisch transformirbar sind in andere Differentialgleichungen, deren 
entweder als Function von % 
Integrale sich nur in festen Punkten verzweigen, ist zu untersuchen, 
ob diejenigen Werthe von y, welche ein und demselben willkürlichen 
Werthe von 2 entsprechen, resp. diejenigen Werthe von z, welche 
ein und demselben willkürlichen Werthe von y entsprechen, wie in 
dem in Nr. 2 gegebenen Beispiele, eine oder mehrere Flächen 
stetig bedecken, oder in endlicher oder unendlicher Anzahl sich in 
disereten Punkten über die Ebene vertheilen. 
