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Schering: Zum dritten Gauss’schen Beweise des Reciprocitätssatzes. 115 
m—ı j h m—ı 
Werthei ,2,3,... annimmt, ebenfalls die Werthe ı,2,3,... 
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in einer eigenen Reihenfolge, es ist also 
mm — ı m—ı 
Se AREA ER 
o a 
daher ergiebt sich aus jenen Gleichungen noch 
(6) 3q,=3u—%3r,=o (mod 2) wenn n ungerade ist, 
m [7 [73 
mm — ı 
(7) zq,=z2r, = 5 (mod 2) wenn n gerade ist. 
m [7 
Multiplieirt man die Gleichungen von der Form (4) für alle die 
angegebenen Werthe des u mit einander, benutzt von nun an nur 
die Kronecrer’sche Bezeichnungen und berücksichtigt die grössten 
von v in Betracht kommenden Werthe, so erhält man hiernach, 
wenn n ungerade ist: 
(8) nur" sun" 5) 
m n m P=1,2,3,... 
und also ur 
2 v—1,2,3,... fürn > ı 
—NU SE v M 
sen IIR —=(—ı) ” sgnll v—ı fürn=ı 
(9) gu." en (1) g n(. e) 
dagegen, wenn n gerade ist, 
N m m—I v 
(10) senuR""—(-.,) ö un —5) 
u M— 
| " Mm [2 177 M = 1,2,3,.. 
also 
n 
— nu ee v 7 Van 23 Le 
ı1) sgnIIR —(—ı) ? > sm | — — — 
ua) SE fr m er en n m 
Für die Kronecker’schen Producte ist der allgemeine Reeipro- 
eitätssatz 
v [23 MN KM v ee 
(12) sen II -— —-)=(-ı) "sgnl| — — — Be =: 
nv\nNn m rum U 280 
unmittelbar ersichtlich. Für N=ı und n=ı oder n=2 nimmt das 
Kroxecxer’sche Vorzeichenproduct der ersten Seite in der Gleichung (12) 
den Werth +ı an, wenn, wie hier, m ungerade grösser als ı und 
m s 
M <— vorausgesetzt wird. 
D) 
Definirt man das Leernoee’sche Zeichen durch die Gauss’sche, 
Charakteristik, setzt also 
) Anz Neg AB ” F NA 
(13) Een? —=3nAB""=sgnuR”, 
13 
2 
re m m 
