SCHERING: Zum dritten Gauss’schen Beweise des Reciproecitätssatzes. 47 
m—ı n na an [mv amv ni 
I NG — —— — | — — ne 
De 2 win am => m \+z|2] 2] n Is 
wie auch, wenn mit Anz UngF(r) die Anzahl der ungeradzahligen 
Werthe bezeichnet wird, welche F(#) annimmt, während u ein ge- 
gebenes Werthensystem durchläuft, die neuen Gleichungen: 
(18) Am Neg AB — — Anz Neg AB : — Anz Ung B = Anz Ung =e) 
— Ang ng pe —- Ins m S|"]-00% — >|" 
mom [m] >06, n = >|“ = 
= zn — + > ® ehe | (m —ı1)(n—1). 
m z 
m—1I 
P=1,2,33...— 
Die der Mehrzahl dieser Gleichungen entsprechenden Congruenzen 
modulo 2 waren schon bekannt und sind als verschiedene Ausgangs- 
punkte zu Beweisen für das Reciprocitätsgesetz benutzt worden. 
Bemerkung zu Hrn. Ernst Schrrine’s Mittheilung. 
Von KRronEckER. 
Ich erlaube mir den interessanten Entwickelungen, welche unser 
correspondirendes Mitglied, der Herausgeber von Gauss’ Werken, an 
den dritten Gauss’schen Beweis des Reciprocitätsgesetzes geknüpft hat, 
eine neue Darstellung desjenigen Beweises anzufügen, welchen ich im 
$. 2 meiner Mittheilung vom 22. Juni 1876 im Anschluss an den dritten 
Gauss’schen Beweis gegeben habe. 
Bedeuten, wie in meiner Notiz vom 12. Juni 1884, m und n positive 
ungrade Zahlen und A, A°, h’ positive Zahlen, die kleiner als —m sind, 
so findet für jede Zahl A eine Congruenz: 
ah —ı 
re oe (mod. m) 
statt. Setzt man nun: 
ze. o r . = “ 
h=2l9—ı oder Ah=m-—2AP-+ı, 
