384 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 30. April. 
e k kr 
Nimmt man für a einen rationalen Bruch —, so ist tg — eine 
n n 
” 
k 
analytische, und R| — | eine arithmetische Invariante aller unter einander 
n 
modulo n congruenten Zahlen k, und die Congruenz k = k’ (mod. n) 
ist durch eine oder die andere der beiden Gleichungen: 
vollkommen zu ersetzen." Hierauf gründen sich die Anwendungen, 
welche man in der Theorie der Congruenzen von der analytischen 
Funetion tg ar und von der arithmetischen Function R(a) machen kann. 
Da rRia) als der absolut kleinste zu tg ar gehörige Bogen definirt 
werden kann, so wird hierdurch in gewisser Hinsicht eine analytische 
Bestimmung für die arithmetische Function R(a) gegeben; aber das 
arithmetische Element eben dieser Bestimmung ist darin zu finden, 
dass jener Bogen als der absolut kleinste unter allen charakterisirt 
wird, oder dass, wenn der Bogenwerth aus der Integration hervor- 
gehen soll, der Integrationsweg als der directe vorgeschrieben wird. 
Dass überdies R(a) — den Fall R(a) = — 7 ausgenommen — sich durch 
die unendliche Reihe: 
ve sin mar a 
(A) > 11% - oder >, (- 1) — (n— +1, +2,+3,....+00) 
I: MT = 2nT 
ausdrücken lässt, hat keinerlei Bedeutung für die Natur der Function 
Ra), da bekanntlich durch Grenzwerthe zahlentheoretische Func- 
tionen in mancherlei Weise dargestellt werden können. 
I. 
Bedeutet [a], wie bei Gauss, die der Grösse a zunächst liegende 
kleinere ganze Zahl, so ist [a+-] die der Grösse a überhaupt 
zunächst liegende, kleinere oder grössere, ganze Zahl, und es kann 
also die Gleichung: 
(B) R(a) =a—[a+ 7] 
zur Definition von Ra) benutzt werden, wie es an der oben ange- 
führten Stelle in der That geschehen ist. 
! Sie ist auch durch die Aequivalenz der beiden Formen ne + k,nxe' + k' zu 
ersetzen, und man erlangt so einen naturgemässen Übergang von dem in der ersten 
Section der Disgg. Arithm. aufgestellten Congruenzbegriff zu dem in der fünften Section 
benutzten Aequivalenzbegrifl. 
