Krosecker: Die absolut kleinsten Reste reeller Grössen. 385 
Da R(a) positiv oder negativ ist, je nachdem a in der ersten 
oder in der zweiten Hälfte des von zwei benachbarten ganzen Zahlen 
begrenzten Intervalls liegt, so ist für positive Grössen a: 
(6) sgn. R(a) = sen. ng — a) g=1,2,3...), 
wenn die Multiplieation rechts wenigstens bis zu der Zahl g = [za] 
erstreckt wird. Dabei bedeutet sgn. « das Vorzeichen der Grösse ı, 
und die Formel (6) gilt auch noch für den Fall R(a) = o, wenn 
sgn.o = o genommen wird. Aber der Fall R(a) = — - ist aus- 
zuschliessen, da alsdann das Product auf der rechten Seite gleich Null 
werden würde. 
Aus der Definition von R(a) folgen unmittelbar deren durch die 
Gleichungen: 
(D) Bla) Rla. en, BEER solle 
ausgedrückte Grundeigenschaften; doch ist auch hier in der zweiten 
Gleichung der Fall R(a) = — } auszuschliessen. Es folgt ferner aus 
der Definition der Function R, dass für irgend welche Grössen a,b, c, 
die der Aequivalenz: 
atb1coo 
genügen, die Gleichung: 
(€) Ri) +Roö) +Re)= —-ı,0,+ı 
besteht, und zwar so, dass der Werth — ı eintritt. wenn die drei 
Reste links negativ, der Werth + 1, wenn sie positiv sind, und der 
Werth o, wenn nicht alle drei Reste gleiches Vorzeichen haben. 
Die Gleichung (€) kann daher auch in folgender Form dargestellt 
werden: 
(€) R(a) + Rib) + R(e) = [- AL zsgn. R(a) + 7 sgn. R(b) + zSgn. R(e)] a 
und da vermöge der Bedingung «+5b-+ co der Rest von ce gleich 
dem negativen Werthe des Restes von @a+Db wird, so kann auch 
die Summe der drei Reste auf der linken Seite von (&) und (6) 
dureh den Ausdruck: 
R(a) + R(b) — R(a + 5) 
ersetzt werden. Die Gleichung (€) ergiebt hiernach eine Bestimmung 
für den Rest einer Summe zweier Grössen durch die Summe der 
beiden Reste, 
Nimmt man in (6) b = : —(4,0= nr ,„ so kommt: 
R (a) + R(; -a) + R (5) = 1 O0 
