Kronecker: Die absolut kleinsten Reste reeller Grössen. 387 
a b 
R (a) ” R.(b) 
dargestellt werden. Geht man also von irgend zwei durch diese 
Gleichung (&) mit einander verbundenen Grössen a, b aus und be- 
zeichnet mit A, k die beziehungsweise den beiden Grössen b , a zu- 
nächst benachbarten ganzen Zahlen, so ergiebt sich die Gleichung (%) 
als mit der Gleichung (6) aequivalent, wenn in (4) die beiden Grössen 
(6) 
b a 
cv, w beziehungsweise durch E°’7 ersetzt werden. 
; h 
Ersetzt man jeden der Reste von a,b,c auf der linken Seite 
der Gleichung (€) oder (&) des Art. II durch die Sinus-Reihe (A) des 
Art. I, so ergiebt sich, dass die Reihe: 
m — 00 — "el uaee ala, 
pP ga) . . . 
(9) > - 7 _ sin mar sin mbr sin mcr , 
zul MT 
wenn @a-+b--e gleich einer ganzen Zahl ist, stets einen der drei 
Werthe = 0, hat, welcher dureh: 
3 
I I I er 2 PEN = La en 
l# + 5590. tgar + Zsgn. tg br + Zsgn. tg en 
dargestellt werden kann. Nimmt man b=- — a,c=+, so resultirt 
die bekannte Gleichung: 
Se: «sin 2var 
(5°) S — ; sgn. R(a) = sgn. tg ar =1,3,5....0). 
vr : 
Wenn man in der Relation (%°) die Sinus-Reihe (A) einsetzt, so 
kommt: 
m— © ( 1 ym 
\ = . eP . 
S (|Ve| sin 2mMmer + |Vw| sin zımker) = 0, 
m 
m I 
wo w=ı wnd A=[Ar ++], k= [ie + -] ist. 
Bedeuten m, rn zwei ungrade Zahlen olıne gemeinsamen Theiler, 
so folgt aus der Gleichung (9°), dass 
EN Im 
DS sen. R Ri De !(m— ı) 
u D 2 
r m - 
dureh die Reihe 
an nv 
> co WET, SEI, ES, 00) 
