388 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 30. April. 
dargestellt werden kann. Zerlegt man diese Reihe in ; (m — ı) Partial- j 
reihen, indem man j 
v=m(2r +1) + 2h 
setzt und alsdann r alle ganzzahligen Werthe von — © bis +®, 
aber A nur die Werthe von ı bis 3 (m — ı) durchlaufen lässt, so 
erhält man nach Ausführung der Summatien in Beziehung auf r die 
bemerkenswerthe Gleichung: 
4 hun’ 
(9) 3 sen. R ") — .. m—1)), 
h Mm | MT, m m 
welche sich dureh die angegebene Herleitung als ein Corollar der 
Gleichung (9) erweist. 
Pe} 
> 
IB 
38 
| = 
S 
= 
— 
S 
|| 
D 
u RÄT u En u 
IV 
Für zwei beliebige ungrade Zahlen m, n ohne gemeinsamen 
Theiler besteht eine Reeiprocitäts-Beziehung, welche ebensowohl dureh 
die Formel: 
Im km 
(R) sen. IIR ZUR — (= T) 
m) k n k=1,2,...-(n—ı) 
mn) h=1,2,... (mr) 
als durch die Formel: 
Er Ihn km‘ 
(R) >| ı— sgn.R ® +- 1 — sgn.R =: (m—ı)(n—-ı) (mod. 2) 
- 2 7 
h m k 
(R=1,2,...-(m—1);k= 1,2... (a—1)) 
dargestellt und auch so ausgedrückt werden kann, dass die Anzahl 
der negativen Werthe von: 
Ihn km 
sgn. R| — |, sgn. R| — (h=1,2,...-(m—1);k=1,2,....(n—1)) 
= m n 2 3 
nur im Falle m =n = — ı (mod. 4) ungrade, sonst aber stets grade 
ist. Diese Reeiproeitäts-Beziehung soll hier auf drei verschiedene 
Weisen aus den im Art. III angegebenen Eigenschaften der Reste 
reeller Grössen hergeleitet werden. 
Erstens folgt aus der Gleichung (&) des Art. II, wenn darin 
In j 
a— — gesetzt und die Multiplication bis = n — ı erstreckt wird: 
m 
Ihn ® Im ' 
- — sgn. III 2 — (= 1.2,...n—1). 
sgn. R 
i m g a | 
