Krons&cker: Die absolut kleinsten Reste reeller Grössen. 391 
& ur") Har ("") = 0, 
m n 
durch welche mit jeder Zahl A= ı,2,...-(m—ı) je eine bestimmte 
von den Zahlen k = ı,2,...-(n—ı) verbunden wird. Aus dieser 
Reeiproeitäts-Gleichung erhellt, dass für je zwei mit einander ver- 
L 
bundene Zahlen 4, % die Reste: R () ER (") entgegengesetztes Vor- 
D 
m 
km Im 
zeichen haben, und dass die Reste R(” ‚ welehe Resten R| — 
n m 
EM m 2m 3m  (n—ı)m 
entsprechen, alle diejenigen unter den Resten von —, en 
nn nn an 
h - . Mm, A 
sind, deren absoluter Werth kleiner als — ist. Jedem solchen posi- 
an 
km j 
tiven Reste R ( ) entspricht aber, wie die Gleichung (E’) für e= + ı 
n 
% k'm m 
zeigt, je einer der negativen Reste R[ —— |, die kleiner als — + — 
n Zn 
sind, während alle anderen negativen Reste, die also zwischen o und 
m * .. * [4 Er 
— + — liegen, gemäss eben derselben Gleichung (€) für e=-+ı 
aan 
einander paarweise durch die Relation: k+%k’ — -(n +1) zugeordnet 
werden können. Dabei werden nur in dem Falle, wo k den Werth 
-(n+1) haben kann, zwei einander entsprechende Zahlen k, k’ mit 
einander identisch; und dies tritt nur ein, wenn = (n+ı) ganz und 
‚n[m(n-+ı) : h ENTE 
dabei RT negativ, also auch m=— ı (mod. 4) ist. Es zeigt 
4m 
sich also mit Hülfe der Reciproeitäts-Gleichung (7) und der Gleichung (€) 
füre= +1, dass sich je zwei von allen negativen Resten: 
R () AR (”) (k=1,2,...(m<1); k=1,2,...—(n—1)) 
m n 2 5 
einander zuordnen lassen, dass dabei nur in dem Falle m=zen= -— ı 
{ R DUNZEI) en: : 
(mod. 4) der eine negative Rest R(”" —— | übrig bleibt, und dass 
- an n 
also in der That nur in diesem Falle die Anzahl jener negativen Reste 
ungrade ist. 
Eben dasselbe Resultat lässt sich aber auch aus der Reciproeitäts- 
Gleichung (#) in Verbindung mit der Gleichung (€) für e&=— ı er- 
schliessen. Denn gemäss der Reeiproeitäts-Gleichung (%) beträgt die 
Im r 
Anzahl aller negativen Reste r( ) und derjenigen negativen Reste 
m ; ; 
