392 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 30. April. 
km 
. Mm. 
R ‚ deren absoluter Werth kleiner als — ist, zusammen genau 
>) 
n 2n 
1 . . . TE . m sa 
„(m — ı), während je zwei der übrigen negativen Reste R[ — | gemäss 
2 n 
der Gleichung (€) für e= — ı einander paarweise mittels der Relation: 
k+k'—=-(n--ı) zugeordnet werden können. Dabei werden nur-in 
dem Falle, wo k den Werth „(nn — ı) haben kann, zwei einander ent- 
sprechende Zahlen %,%’ mit einander identisch; und dies tritt nur 
. 
: 3 m(n — ı) 
ein, wenn ‚(in — ı) ganz und dabei R| ——— 
negativ, also m=—ı 
(mod. 4) ist. Die Gesammtanzahl der negativen Reste: 
Ihn km 
R| — „ Ri — (h=1,2,...(m—1); k=1,2,...(n—1)) 
m n . z 
übersteigt also die Zahl „(m — ı) nurin dem Falle: m= — n= — ı (mod. 4) 
um eine ungrade Zahl, und sie selbst ist daher nur dann ungrade, 
wenn m=n=— ı (mod. 4) ist. 
Sind m und » Primzahlen, so ist gemäss dem Gauss’schen Lemma: 
I 
Im n km m h=13,2,... (m—ı) 
sem HER el nesenentk 1 3 
h \m m k n n R=1,252.. (nl) 
n m 5 > - B 3 > e 
wo |— |, | — | die Leeenore’schen Zeichen sind. Die drei Herleitungs- 
m n 
weisen der zwischen den Zeichen: 
In km h=1,2,...(m—ı) 
sgn.IR| — |, sgn.HR| — a 
h m k N k=1,2,...—(n— 1) 
bestehenden Reciproeitäts-Beziehung, welche im Art. IV auseinander- 
gesetzt worden sind, können darnach als drei verschiedene Beweis- 
methoden des Reciprocitätsgesetzes für quadratische Reste angesehen 
werden. Doch gehören diese drei Beweismethoden einer und derselben, 
durch die Anwendung des Gauss’schen Lemma charakterisirten Kategorie 
von Reeiprocitätsgesetz-Beweisen an. Ihre Unterschiede treten in den 
Entwickelungen des Art. IV deutlich darin hervor, dass in jeder der 
drei Methoden von anderen Fundamental-Eigenschaften der Reste reeller 
Grössen Gebrauch gemacht wird. 
Die erste, in formaler Hinsicht einfachste, stützt sich nur auf 
die Gleichung (GC) des Art. II; sie findet sich, wenn auch etwas modi- 
