Kronecker: Die absolut kleinsten Reste reeller Grössen. 393 
fieirt, sehon in meiner Mittheilung vom 7. Februar v. J.' und sie ist 
als eine Vereinfachung des dritten Gauss’schen Beweises zu be- 
trachten.” 
Die zweite ist die sachlich einfachste Beweismethode, weil 
dabei nur die nächstliegenden, unmittelbar evidenten Eigenschaften 
der Reste reeller Grössen, nämlich: 
(D) R(a)=Rf(a+ 1), Rl)= —R(-a) 
benutzt werden; sie ist nichts Anderes als der fünfte Gauss’sche 
Beweis in einer mit Hülfe des Zeichens R vereinfachten Darstellung. 
Die dritte der im Art. IV gegebenen Beweismethoden unterscheidet 
sich prineipiell von den beiden ersten dadurch, dass dabei eine zwischen 
- Ihn km , en : 
zwei Resten R =). R or selbst bestehende Reeiprocitäts-Glei- 
chung, die Gleichung (#) des Art. II zu Grunde gelegt wird. Es kommt 
zwar ausserdem noch die Gleichung (€) zur Anwendung; aber diese 
ist von analoger Beschaffenheit wie die bei der zweiten Beweismethode 
benutzten Gleichungen (D). 
Diese dritte Beweismethode ist nun nichts Anderes als jene 
Zeiver'sche, welche ich im December 1872 der Akademie mitgetheilt 
und im betreffenden Monatsberieht veröffentlicht habe; aber sie ist 
hier im Art. IV unter Anwendung des Zeichens R entwickelt, und 
es zeigt sich dabei ihr eigentliches Fundament eben darin, dass, 
km 
wenn m<n angenommen wird, zuvörderst von allen Resten R| — 
n 
diejenigen herausgehoben werden, welche mit den verschiedenen Resten 
hm ee 
R{ — ) durch die Reeiproeitäts-Gleichung: 
m 
Te 
($) mR ie +nR 
m n 
0 
km 
verbunden sind. Erst dann werden die übrigen Reste R| — } unter 
n 
einander paarweise verbunden, und es wird deren Grösse und Vor- 
zeichen mit Hülfe der Gleichung (€) bestimmt. 
Auf eben demselben Fundament wie der Zerrer’sche ruht auch 
der 1879 von Hın. Prrersen im zweiten Bande des American Journal 
of Mathematies S. 285 veröffentlichte Beweis des Reciprocitätsgesetzes, 
und die wesentliche Übereinstimmung beider Beweise tritt unmittelbar 
hervor, wenn man in den a. a. OÖ. mit (1), (2) bezeichneten PETERsEN- 
! Sitzungsberichte 1884. XXIII. S. 522. 
® Vgl. Sitzungsberichte 1884. XXIX. S. 645. 
