394 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 30. April. 
schen Gleichungen die Zahlen a,b beziehungsweise durch p,g und 
ferner: 
m, N, ze 
in (1) durch: —h+-(p+sgn.r), -k+-@-1), 2r —gsgn.r 
in (2) dureh: h, k— + 7zsgn.r, —2r +psgn.r 
ersetzt. Alsdann werden nämlich die beiden Prtersen’schen Gleichungen 
mit der Gleichung: Ag — kp=r, von welcher die Zerrer’sche Entwicke- 
lung ausgeht, identisch, und die einzige Modifiecation der von Hrn. 
Prrersen daran geknüpften weiteren Deduction' lässt sich dadurch be- 
zeichnen, dass diese zu der oben in der dritten Beweismethode für 
e—= + ı dargelegten Restgruppirung, die ZEeLver’sche aber zu derjenigen 
Gruppirung führt, die dem Werthe e=— ı entspricht. 
Die Zurückführung auf die verschiedenen Fundamental-Eigen- 
schaften der Reste reeller Grössen gewährt also eine neue und voll- 
ständige Einsicht in die gegenseitigen Beziehungen der verschiedenen, auf 
dem Gauss’schen Lemma fussenden Reeiprocitätsgesetz-Beweise; und 
eine solehe Aufklärung zu erlangen, war der eigentliche Zweck meiner 
hier mitgetheilten Untersuchungen. 
vi. 
Eine Function 9 (m,n) zweier positiver oder negativer ungrader 
Zahlen »m,n, die keinen gemeinsamen Theiler haben, wird dureh die 
Bedingungen: 
9 (min) = 9 (m-+ 2n,n) 
(X) 
ı 
d (m, n)=9(—-n,m) (-1)4 
(m —ı) (n+1) (gu. m—1) (gu. n-+1) 
’ 
abgesehen von einem constanten Factor, vollständig bestimmt. Denn, 
wenn man, wie im Art. VI meines oben eitirten, im Sitzungsbericht 
vom ı. Mai 1884 abgedruckten Aufsatzes, von zwei (positiven oder 
negativen) ungraden Zahlen n,,, ausgehend, eine Reihe von Zahlen 
Ns Ns Ny5.... 0, derart bildet, dass zwischen ihnen die Gleichungen: 
MW—- MIN FM EIN - Mm HN, =0:....M, Mm tt m—O 
bestehen, in denen r,,7,,...7,_, positive oder negative ganze Zahlen 
sind, so ist: 
! Diese weitere Deduction kann übrigens durch die wesentlich einfachere, welche 
ich in den letzten Zeilen von $. 336 des Monatsberichts von 1876 gegeben habe, ersetzt 
werden, da die Erklärung des Lesenore’schen Zeichens, von welcher Hr. PErersen aus- 
geht, genau mit der a. a. O. von mir benutzten übereinstimmt, 
