Kronecker: Die absolut kleinsten Reste reeller Grössen. 395 
1 
——i, 
Fu 
9 (— 49) = e(n,_, ‚u)=(-1ı)* 9 (—n, ,%_ı) > 
wenn o, die Zahl: 
(%_,— 1) (m; + ı) — (sgn.n;_, —ı) (sgn.n, + ı) 
bedeutet, und es wird daher 9 (—n, ‚n,) gleich 9 (-n,,n,_,), multipli- 
eirt mit einer durch die Zahlen » genau bestimmten Potenz von — 1. 
Da ferner, wenn n,,n, als relative Primzahlen vorausgesetzt werden, 
2, + ı angenommen werden kann, so folgt aus den Gleichungen (%), 
dass: 
9 n,,n_)= =+9lı,ı) 
wird. Der Quotient: 
9 (m, n) 
(1,1) 
ist daher dureh die Gleichungen (%) vollständig bestimmt. 
Das Reciprocitätsgesetz für quadratische Reste kann also — und 
es erscheint mir dies von besonderem Interesse — in der Weise 
bewiesen werden, dass die Übereinstimmung jenes Quotienten mit 
&) r ” m * * 
dem Jacosı- Lesenpre’schen Zeichen (") dargethan wird. Hierzu 
n 
bedarf es einzig und allein des Nachweises, dass für die dureh die 
Gleichungen (%) definirte Funetion # (m, n) der Multiplicationssatz: 
(M) 9 (1,n)9 (m, n) = 9 (Im, n)® (1, ı) 
besteht; denn wie mit Benutzung dieses Satzes und der Gleichungen (Y) 
gefolgert werden kann, dass in der That: 
P(m,n) = (") (ı,1ı) 
sein muss, habe ich bereits im $. 3 meines im Monatsbericht vom 
Juni 1876 abgedruckten Aufsatzes ausführlich entwickelt. Es ist mir 
aber bis jetzt noch nieht gelungen, den Multiplicationssatz (M) un- 
mittelbar aus den Definitions-Gleichungen (%) abzuleiten. Mittelbar 
ergiebt sich derselbe durch den im Art. IV auf drei verschiedene Arten 
geführten Nachweis, dass die durch die Gleichung: 
km 
d(m,n)—=9(1,1)- sen. ur ("”) (ki »2,...—(n—1)) 
n 
bestimmte Funetion # der zweiten der Definitions - Gleichungen (8) 
genügt. Es ist nämlich an sich klar, dass sie auch der ersten genügt, 
und der Multiplicationssatz folgt dann aus der Relation: 
Ik 4 Imk‘' 
R ( ) . SEN. R(", ) — R(") (k,k' — ae (n-1)), 
n n n z 
Sitzungsberichte 1885. 34 
